Geometria plana)

Representación de dos planos que se cruzan

El plano es un concepto primitivo de geometría , es decir, un concepto para el que no existe una definición formal y que se supone que es intuitivamente comprensible y / o adquirido experiencialmente, por lo tanto una idea universalmente aceptada y única que se puede representar con objetos concretos que sirven como un ejemplo pero que por su propia existencia no resuelven completamente el concepto (los otros conceptos primitivos de la geometría son el punto y la recta ).

En el caso del plano, para representarlo idealmente, pensemos en una hoja de papel de infinitas dimensiones: el plano es la idea, el concepto abstracto, pero tampoco es la hoja de papel porque tiene un grosor y un plano ideal. no lo hace y porque no es posible producir o encontrar una hoja de papel de dimensiones infinitas.

En última instancia, esto:

Pensado como un lugar geométrico de puntos, tiene una extensión de superficie: el plano, en el espacio tridimensional, es el conjunto de todos aquellos puntos identificados por la combinación lineal de 2 vectores linealmente independientes aplicados a un mismo punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ .
Desde el punto de vista de la geometría diferencial, el plano es aquella superficie que tiene ambas curvaturas fundamentales cero.

Las relaciones entre un plano y los puntos y líneas que contiene se expresan mediante los axiomas de Euclides y los axiomas de Hilbert .

Aviones en el espacio tridimensional.

La ecuación canónica del plano en el espacio tridimensional. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ es del tipo:

ax+by+cz+d=0,

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

con $a,b,c,d\in \mathbb {R} ,$ ${\ Displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {R},}$ Y $para, B, C$ ${\ Displaystyle a, b, c}$ $a B C$ no todo nulo.

Ecuación cartesiana

Plan pasando por tres puntos

Déjalos ser $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ ${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), P_ {3 } = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ ${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), P_ {3 } = (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}$ tres puntos en el espacio que no están alineados. Por estos tres puntos pasa uno y solo un piso $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ . Un punto $P=(x,y,z)$ ${\ Displaystyle P = (x, y, z)}$ $P = (x, y, z)$ pertenece al plan $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ solo si el transportista $P-P_{1}$ ${\ Displaystyle P-P_ {1}}$ $P-P_ {1}$ es una combinación lineal de vectores $P_{2}-P_{1}$ ${\ Displaystyle P_ {2} -P_ {1}}$ $P_ {2} -P_ {1}$ Y $P_{3}-P_{1}$ ${\ Displaystyle P_ {3} -P_ {1}}$ $P_ {3} -P_ {1}$ , eso es si

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.

{\ Displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = 0. }

{\ Displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = 0. }

Desarrollando el determinante con la regla de Laplace con respecto a la primera fila obtenemos:

a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,

{\ Displaystyle a (x-x_ {1}) + b (y-y_ {1}) + c (z-z_ {1}) = 0,}

{\ Displaystyle a (x-x_ {1}) + b (y-y_ {1}) + c (z-z_ {1}) = 0,}

Dónde está

a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.

{\ Displaystyle a = {\ begin {vmatrix} y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1 } \ end {vmatrix}}, \; b = - {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}}, \; c = {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} \\ x_ {3 } -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} \ end {vmatrix}}.}

{\ Displaystyle a = {\ begin {vmatrix} y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1 } \ end {vmatrix}}, \; b = - {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}}, \; c = {\ begin {vmatrix} x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} \\ x_ {3 } -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} \ end {vmatrix}}.}

Finalmente, para obtener la ecuación canónica del plan, se define $\;d\;$ ${\ Displaystyle \; d \;}$ ${\ Displaystyle \; d \;}$ como sigue:

d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),

{\ Displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}),}

{\ Displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}),}

Dónde está $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ es un punto que pertenece al plano, por lo que en este caso puede utilizar las coordenadas de cualquier punto entre $P_{1}$ ${\ Displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ , $P_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ Y $P_{3}$ ${\ Displaystyle P_ {3}}$ $P_ {3}$ .

Posiciones mutuas de dos pisos

Planos paralelos

La posición recíproca de dos planos se puede estudiar poniendo sus ecuaciones en un sistema. Cuando la matriz de coeficientes tiene rango 2, el sistema es compatible y admite un infinito simple ( $\infty ^{1}$ ${\ Displaystyle \ infty ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ infty ^ {1}}$ ) soluciones, que representan todos los puntos de la línea de intersección entre los dos planos. Cuando la matriz de coeficientes tiene rango 1, las soluciones aceptadas son doble infinito ( $\infty ^{2}$ ${\ Displaystyle \ infty ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ infty ^ {2}}$ ) y los planos son paralelos y coincidentes (paralelismo inadecuado). Finalmente, si la matriz de los coeficientes tiene rango 0, el sistema es incompatible y los planos son paralelos y distintos (paralelismo propio).

Distancia de un punto a un plano

Es posible calcular la distancia a un punto. $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ Displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ desde un piso $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ usando la siguiente fórmula:

d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

{\ Displaystyle d (\ pi, P) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

{\ Displaystyle d (\ pi, P) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

En particular, si $d(\pi ,P)=0$ ${\ Displaystyle d (\ pi, P) = 0}$ $d (\ pi, P) = 0$ , entonces el punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ pertenece al plan $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ .

Otros proyectos

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