Principio variacional de Hamilton

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El principio de Hamilton es un principio variacional del grupo de principios de acción mínima , formulado por William Rowan Hamilton . Generalmente estudiado en mecánica racional y mecánica cuántica , el principio establece que el movimiento de un sistema físico es el que minimiza la integral de tiempo del Lagrangiano del sistema.

Historia

El principio de mínima acción fue formulado por primera vez por elleibnitiano Maupertuis en 1746 , en oposición a los principios dinámicos de Newton . Partió de la observación de que la naturaleza del universo requiere un cierto grado de economía y se opone a cualquier disipación innecesaria de " fuerza viva" , la cantidad física definida por Leibniz como '' "el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad de una fuerza física. sistema "", o su energía cinética. El concepto de "fuerza viva" jugó un papel central en la física leibniziana.

Euler , en sus Reflexiones sobre algunas leyes generales de la naturaleza ... de 1748 , adoptó el principio del mínimo esfuerzo , que corresponde modernamente a la energía potencial , de modo que la definición de mínima acción en un sistema estático era equivalente al principio según el cual un sistema de cuerpos en reposo asume el estado que minimiza la energía potencial total. Hamilton unificó a la luz del tratamiento de Lagrange de la mecánica analítica las dos definiciones en una más general que tuvo en cuenta ambas contribuciones, y que condujo efectivamente a las mismas conclusiones que la mecánica newtoniana .

Generalidad

Para deducir las ecuaciones, se realiza un cálculo de las variaciones de la acción de Hamilton , es decir, se establece una relación integral que concierne al movimiento global del sistema entre dos instantes de tiempo en el espacio de fase , a partir del cual las ecuaciones del movimiento de el sistema en forma diferencial : el principio de mínima acción es de hecho equivalente a la segunda ley de la dinámica , que en la mecánica lagrangiana se formula mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange . El espacio de fase es el hiperespacio cartesiano formado por los 2 n ejes ya que existen coordenadas generalizadas .

Más adecuado para ser generalizado, el principio juega, por tanto, un papel muy importante en la física moderna: de hecho, es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física, y su importancia se ve plenamente en varios campos, incluida la mecánica cuántica . La formulación de Feynman de la mecánica cuántica se basa en el principio de acción estacionaria formulado utilizando integrales de trayectoria , pero las ecuaciones de Maxwell también se pueden derivar como condiciones de acción estacionarias.

En general, son muchos los problemas que se pueden representar y resolver en términos del principio de mínima acción: con él, por ejemplo, es posible encontrar el camino más rápido, no necesariamente el más corto, entre dos puntos, mostrando el hecho de que El agua que desciende de una colina sigue siempre la pendiente máxima, y ​​el hecho de que el camino de la luz entre dos puntos sea siempre el que se recorre en el menor tiempo ( principio de Fermat ), o permite estudiar el camino de un cuerpo en un campo gravitacional , el problema de la caída libre en el espacio-tiempo, cuya solución es una trayectoria geodésica. Incluso las simetrías en los problemas de física pueden explotarse mejor utilizando el principio: por ejemplo, el teorema de Noether establece que para cada simetría continua en un problema de física hay una ley de conservación. Sin embargo, esta profunda conexión matemática requiere el principio de acción como requisito previo.

Formulación

Considere un sistema físico descrito por coordenadas generalizadas que evoluciona entre dos estados Y en el intervalo de tiempo entre los instantes Y . El principio variacional de Hamilton establece que la evolución del sistema, descrita por la curva , es un punto estacionario de la acción funcional (generalmente un punto mínimo) para pequeñas perturbaciones de la trayectoria.

Más explícitamente, la integral que define la acción en el intervalo entre Y es el siguiente:

Dónde está denota el lagrangiano del sistema. El principio variacional de Hamilton establece que un sistema físico hace una trayectoria como para minimizar el valor de la integral que define la acción , [1] para secciones suficientemente cortas de . [2] En otras palabras, la evolución del sistema físico es la solución de la ecuación variacional :

El lagrangiano de un sistema mecánico depende únicamente del tiempo, de la posición y de la derivada de este último con respecto al tiempo, la velocidad . Esto se debe al hecho de que estas cantidades permiten determinar unívocamente el estado mecánico del sistema descrito. [3]

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: ecuaciones de Euler-Lagrange .

Si un sistema físico es holonómico y monogénico, es posible derivar las ecuaciones de Lagrange del principio de Hamilton: [4] el requisito de que la trayectoria real recorrida por un sistema físico sea un punto estacionario de la acción. es equivalente a un sistema de ecuaciones diferenciales cuya incógnita es . Dada la evolución del sistema entre dos estados Y en el intervalo de tiempo entre los instantes Y , las ecuaciones se obtienen introduciendo una pequeña perturbación para que se cancela al final de la ruta:

La perturbación produce una variación de la acción funcional dada por: [3]

Usando la integración por partes para el término de la derecha obtenemos:

Las condiciones de frontera cancelar el primer término, entonces:

El principio de Hamilton requiere que es cero para cada posible perturbación ya que la trayectoria recorrida es un punto estacionario de la acción. Por lo tanto, esta solicitud se satisface si y solo si las ecuaciones de Euler-Lagrange se cumplen: [5]

Es un sistema de N ecuaciones diferenciales de segundo orden, cuya solución contiene 2 N constantes arbitrarias por determinar.

Momento canónico y constantes de movimiento

El impulso conjugado relativo a la coordenada generalizada está definido por la ecuación:

.

Si la expresión de no contiene la coordenada generalizada ocurre que:

En este caso, las ecuaciones de Euler-Lagrange muestran que la variación en el tiempo de es cero y, por tanto, es una constante de movimiento . Es más, se llama coordenada cíclica .

Principio ampliado de Hamilton

El principio de Hamilton también puede extenderse a sistemas no conservadores y restricciones no holonómicas, siempre que sean lineales en y se puede integrar exactamente. Cualquier movimiento del sistema que ocurra en el mismo intervalo de tiempo y entre las mismas configuraciones extremas, es decir , tiene la propiedad de asumir un valor extremo a la integral:

Dónde está es la función hamiltoniana . El principio se puede enunciar de manera diferente al afirmar que todo movimiento del sistema que ocurre en el mismo intervalo de tiempo y entre las mismas configuraciones extremas tiene la propiedad de cancelar la variación de la integral de Hamilton expandida:

La acción ahora introducida es diferente de la acción en el caso anterior, en que no es necesario que son los momentos conjugados de las variables : en general . Si esta condición es verdadera, la acción expandida se identifica con la acción de Hamilton.

Ecuaciones de Hamilton

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: ecuaciones de Hamilton .

De este principio es posible deducir las ecuaciones de Hamilton. Consideremos todas las curvas (que varían en el espacio de las configuraciones) que tienen la propiedad de seguir el camino al mismo tiempo, caracterizado por un parámetro de variación virtual . Entonces la variación de la integral se convierte en:

Derivando parcialmente con respecto a dentro de la integral obtenemos:

Integrando la cantidad por partes:

Finalmente, obtenemos la forma:

y esto es nulo si y solo si las respectivas sumas a la variación de las coordenadas generalizadas y a la variación de los momentos lineales conjugados son respectivamente nulos y esto sucede solo si las expresiones entre paréntesis se cancelan entre sí, es decir:

que son las ecuaciones de Hamilton.

Ejemplo

Por ejemplo, considere una partícula de masa libre moviéndose a lo largo de una línea recta. En ausencia de un potencial, el Lagrangiano es igual a la energía cinética, que en coordenadas ortogonales tiene la forma:

donde el punto denota la derivación con respecto a la variable que parametriza la curva recorrida, que suele ser el tiempo . Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

obtienes inmediatamente:

y lo mismo para . Por tanto, vemos que la formulación de Euler-Lagrange se puede utilizar para derivar la ley de Newton .

En coordenadas polares la energía cinética en cambio tiene la forma:

y las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en:

cuya solución es:

para un conjunto de constantes , , , determinado por las condiciones iniciales.

Nota

  1. ^ Landau, Lifshits , p. 28 .
  2. ^ Esta última aclaración se debe a que el valor de la integral de acción puede ser un punto mínimo para un tramo de la curva, pero no necesariamente el valor mínimo de la integral evaluada en todo el trayecto.
  3. a b Landau, Lifshits , p . 29 .
  4. ^ Herbert Goldstein , Charles P. Poole Jr. y John L. Safko, Classical Mechanics , 3.a ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 2002, págs. 18–21.45, ISBN 0-201-65702-3 .
  5. ^ Landau, Lifshits , p. 30 .

Bibliografía

Artículos relacionados

enlaces externos

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