El problema de Cauchy

En matemáticas , el problema de Cauchy consiste en encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ :

f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots ,y^{n}(x))=0

{\ Displaystyle f (x, y (x), y '(x), y' '(x), \ dots, y ^ {n} (x)) = 0}

{\ Displaystyle f (x, y (x), y '(x), y' '(x), \ dots, y ^ {n} (x)) = 0}

de manera que satisfaga las condiciones iniciales:

y(a)=y_{0}

{\ Displaystyle y (a) = y_ {0}}

{\ Displaystyle y (a) = y_ {0}}

y'(a)=y_{1}

{\ Displaystyle y '(a) = y_ {1}}

{\ Displaystyle y '(a) = y_ {1}}

y''(a)=y_{2}

{\ Displaystyle y '' (a) = y_ {2}}

{\ Displaystyle y '' (a) = y_ {2}}

\dots

{\ Displaystyle \ dots}

{\ Displaystyle \ dots}

y^{n-1}(a)=y_{n-1}

{\ Displaystyle y ^ {n-1} (a) = y_ {n-1}}

{\ Displaystyle y ^ {n-1} (a) = y_ {n-1}}

El teorema de existencia y unicidad para un problema de Cauchy muestra que la solución existe y es localmente única, si $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ respete las suposiciones apropiadas. Siempre es posible reducir un problema de pedido. $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ a un sistema de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, de orden 1, estableciendo:

z_{1}(x)=y(x)

{\ Displaystyle z_ {1} (x) = y (x)}

{\ Displaystyle z_ {1} (x) = y (x)}

z_{2}(x)=z_{1}'(x)=y'(x)

{\ Displaystyle z_ {2} (x) = z_ {1} '(x) = y' (x)}

{\ Displaystyle z_ {2} (x) = z_ {1} '(x) = y' (x)}

z_{3}(x)=z_{2}'(x)=y''(x)

{\ Displaystyle z_ {3} (x) = z_ {2} '(x) = y' '(x)}

{\ Displaystyle z_ {3} (x) = z_ {2} '(x) = y' '(x)}

\dots

{\ Displaystyle \ dots}

{\ Displaystyle \ dots}

z_{n}(x)=z_{n-1}'(x)=y^{n-1}(x)

{\ Displaystyle z_ {n} (x) = z_ {n-1} '(x) = y ^ {n-1} (x)}

{\ Displaystyle z_ {n} (x) = z_ {n-1} '(x) = y ^ {n-1} (x)}

Abordar un problema de Cauchy generalmente requiere estudiar la forma de la frontera del dominio de definición de la ecuación y determinar una solución que satisfaga las condiciones de la frontera de Cauchy .

Problema de valor inicial

En matemáticas , en el contexto del estudio de ecuaciones diferenciales , un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor específico de la función desconocida en un cierto punto del dominio de la solución, llamado condición inicial . En física u otras ciencias, modelar un sistema a menudo requiere resolver un problema en valores iniciales; en este contexto, la ecuación diferencial describe la evolución en el tiempo según las condiciones iniciales.

Es una ecuación diferencial:

y'(t)=f(t,y(t))

{\ Displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}

{\ Displaystyle y '(t) = f (t, y (t))}

con $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ , que tiene un punto asociado en el dominio de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ :

(t_{0},y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R}

{\ Displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}

llamada condición inicial .

Una solución a un problema de valor inicial es una función $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ que es la solución de la ecuación diferencial y satisface la condición $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ Displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ .

En problemas de orden superior se considera $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ como un vector , cuyas variables corresponden a las derivadas de segundo o superior orden. De manera más general, la función desconocida $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ puede asumir valores en espacios de dimensión infinita, como espacios de Banach o espacios de distribuciones .

Existencia y singularidad de la solución.

El mismo tema en detalle: teorema de existencia y unicidad para un problema de Cauchy .

La existencia y unicidad de la solución se puede demostrar para una amplia tipología de problemas de valor inicial.

El teorema de existencia y unicidad para un problema de Cauchy (teorema de Picard-Lindelöf) garantiza la existencia de una solución única en un cierto intervalo que contiene $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ uno mismo $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ y su derivada parcial $\partial f/\partial y$ ${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial y}$ ${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial y}$ son continuos en una región contenedora $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Y $y_{0}$ ${\ Displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ . La demostración de este teorema se basa en la reformulación del problema en una ecuación integral . La integral se puede considerar un operador que "mapea" una función a otra, de modo que la solución es un punto fijo del operador. Luego usamos el teorema de la contracción para demostrar que hay un solo punto fijo, que es la solución del problema de valor inicial.

También hay una prueba más antigua del teorema de Picard-Lindelöf, que se basa en la construcción de una secuencia de funciones que convergen a la solución de la ecuación integral y, por lo tanto, a la solución del problema de valor inicial. Esta construcción a veces se denomina "método de Picard" o "método de aproximación sucesiva". Esta versión es básicamente un caso especial del teorema de la contracción.

Hiroshi Okamura trazó una condición necesaria y suficiente para que la solución de un problema de valor inicial sea única. Esta condición está relacionada con la existencia de una función de Lyapunov para el sistema.

En algunos casos, la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ no es elegante $C_{1}$ ${\ Displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , o incluso Lipschitz , por lo tanto, no se garantiza la existencia local de una única solución. El teorema de existencia de Peano asegura que incluso para $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ simplemente continúa, la existencia de las soluciones está garantizada localmente; el problema es que no hay garantía de unicidad.

Ejemplos de

La solución general de:

y'+3y=6t+5\qquad y(0)=3

{\ Displaystyle y '+ 3y = 6t + 5 \ qquad y (0) = 3}

{\ Displaystyle y '+ 3y = 6t + 5 \ qquad y (0) = 3}

se puede demostrar que es:

y(t)=2e^{-3t}+2t+1

{\ Displaystyle y (t) = 2e ^ {- 3t} + 2t + 1}

{\ Displaystyle y (t) = 2e ^ {- 3t} + 2t + 1}

En efecto:

{\begin{aligned}y'+3y&=(d/dt)(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} y '+ 3y & = (d / dt) (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) +3 (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) \\ & = (-6e ^ {- 3t} +2) + (6e ^ {- 3t} + 6t + 3) \\ & = 6t + 5 \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} y '+ 3y & = (d / dt) (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) +3 (2e ^ {- 3t} + 2t + 1) \\ & = (-6e ^ {- 3t} +2) + (6e ^ {- 3t} + 6t + 3) \\ & = 6t + 5 \ end {alineado}}}

La ley del movimiento

Consideremos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de un punto material; se caracteriza por ${\vec {a}}=costante$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = constante}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = constante}$ .

La ley del movimiento ${\vec {s}}(t)=s(t,{\vec {v}}(t),{\vec {a}}(t))$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}} (t) = s (t, {\ vec {v}} (t), {\ vec {a}} (t))}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}} (t) = s (t, {\ vec {v}} (t), {\ vec {a}} (t))}$ , con las condiciones iniciales

${\vec {s}}(t_{0})={\vec {s}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}} (t_ {0}) = {\ vec {s}} _ {0}}$ ${\ vec s} (t_ {0}) = {\ vec s} _ {0}$ (la posición inicial, instantáneamente $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ ),
${\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}}$ (la velocidad inicial),

Y

{\vec {s}}(t)={\vec {s}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}

{\ Displaystyle {\ vec {s}} (t) = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} { \ old {a}} t ^ {2}}

{\ vec s} (t) = {\ vec s} _ {0} + {\ vec v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec a} t ^ {2}

que es la solución del problema de Cauchy.

Bibliografía

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecciones de análisis matemático dos , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , Capítulo 4.
(EN) Coddington, Earl A. y Levinson, Norman,Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York-Toronto-Londres, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1955.
( EN ) Hirsch, Morris W. y Smale, Stephen, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal , Nueva York-Londres, Academic Press [Una subsidiaria de Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], 1974.
( EN , FR ) Hirosi Okamura, Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano , en Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. , vol. 24, 1942, págs. 21-28.
( EN ) Polyanin, Andrei D. y Zaitsev, Valentin F., Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias , 2da edición, Boca Raton, FL, Chapman & Hall / CRC, 2003, ISBN 1-58488-297-2 .
( EN ) James C. Robinson, Sistemas dinámicos de dimensión infinita: Introducción a las PDE parabólicas disipativas y la teoría de los atractores globales , Cambridge, Cambridge University Press, 2001, xviii + 461, ISBN 0-521-63204-8 .

enlaces externos

( EN ) AP Soldatov, problema de Cauchy , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Problema de Cauchy , en MathWorld Wolfram Research.
Applet sobre el problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Control de autoridad	Tesauro BNCF 37804 · LCCN (EN) sh85021438 · BNF (FR) cb121249087 (fecha)

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