Producto vectorial

En las matemáticas , en particular en cálculo vectorial , el producto vectorial es una interna operación binaria entre dos vectores en un tres - dimensional espacio euclidiano que los retornos otro vector que es lo normal al plano formado por los vectores de partida.

El producto vectorial se indica con el símbolo $\times$ ${\ Displaystyle \ times}$ $\ épocas$ o con el símbolo $\wedge$ ${\ Displaystyle \ wedge}$ $\ cuña$ . El segundo símbolo, sin embargo, también se utiliza para indicar el producto externo (o producto cuña ) en Grassmann 's y Clifford ' s álgebra y en formas diferenciales . Históricamente, el producto externo fue definida por Grassmann sobre treinta años antes de Gibbs y Heaviside definen el producto vectorial ^[1] .

Definición

producto del vector en un sistema de mano derecha

El producto vectorial entre dos vectores $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ en $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ se define como el vector perpendicular a ellos:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ tiempos \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ vec {a} || \ vec {b} | \ sin \ theta}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ tiempos \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ vec {a} || \ vec {b} | \ sin \ theta}

Dónde está $0<\theta <\pi$ ${\ Displaystyle 0 <\ theta <\ pi}$ $0 <\ theta <\ pi$ es el ángulo entre $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Y ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ es una normal de vector al plano formado por $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , Que da a la dirección del producto vectorial. Se nota que la forma $|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta$ ${\ Displaystyle | \ vec {a} || \ vec {b} | \ sin \ theta}$ ${\ Displaystyle | \ vec {a} || \ vec {b} | \ sin \ theta}$ del producto vectorial es el área de la paralelogramo identificado por los dos vectores $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ .

Explícitamente, refranes $\mathbf {i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf yo$ , $\mathbf {j}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ Y $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ los versors de una base ortonormal de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , el producto de $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ $\ Mathbf a = (a_1, a_2, a_3)$ Y $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3})}$ $\ Mathbf b = (b_1, b_2, B_3)$ puede escribirse de esta base como el determinante de una matriz (con un abuso de notación ):

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\\{a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\\\end{bmatrix}}=\\&=\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} y = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} y A_ {2} y A_ {3} \\ b_ {1} y b_ {2} y b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} y = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} y A_ {2} y A_ {3} \\ b_ {1} y b_ {2} y b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {alineado}}}

Dado que el producto vectorial entre dos vectores bajo transformaciones de paridad no se comporta como un verdadero vector, que se conoce como un pseudovector . Por ejemplo, el momento angular , la velocidad angular , el campo magnético son pseudovectors (también denominados vectores axiales).

Verso del producto vectorial

Puesto que hay dos versors ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ Y $-{\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle - {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $- \ hat {\ mathbf n}$ perpendicular tanto ad $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ que una $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , Convencionalmente a elegir ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Hat {\ mathbf {n}}}$ en tal una forma que los vectores $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ y $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}}$ $\ Mathbf a \ tiempos \ mathbf b$ están orientados de acuerdo con un sistema de mano derecha si el sistema de ejes de coordenadas $(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k})}$ $(\ Mathbf i, \ mathbf j, \ mathbf k)$ es giro a la derecha, o girar a la izquierda si el sistema de eje se gira a la izquierda. La orientación del vector unidad ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Hat {\ mathbf {n}}}$ por lo tanto, depende de la orientación de los vectores en el espacio, es decir, en la quiralidad de la ortonormal de coordenadas del sistema.

Una forma sencilla de determinar la dirección del producto vectorial es la " regla de la mano derecha ". En un sistema de mano derecha, el pulgar se señaló en la dirección del primer vector, el dedo índice en la de la segunda, el dedo medio da la dirección del producto vectorial. En un sistema de referencia de la mano izquierda, es suficiente para invertir la dirección del producto vectorial, que es el uso de la mano izquierda.

Otro método sencillo es el de la "tornillo de la mano derecha". En un sistema de mano derecha, se simula el movimiento de apriete o el desenroscado de un tornillo a derechas; visto desde arriba, si mediante la rotación del primer vector hacia la segunda la rotación es hacia la derecha, el tornillo se atornilla y por lo tanto la dirección del vector se enfrenta hacia abajo; viceversa, si se realiza una rotación en sentido antihorario, el tornillo será desenroscada y la dirección del vector será hacia arriba.

Notación con índices

El producto vectorial $\mathbf {a\times b} =\mathbf {c}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a \ veces b} = \ mathbf {c}}$ $\ Mathbf {a \ times b} = \ mathbf {c}$ se puede definir en términos de la tensor Levi-Civita $\varepsilon _{ijk}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ Varepsilon_ {ijk}$ igual que:

c_{k}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}

{\ Displaystyle c_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j}}

C_K = \ varepsilon_ {ijk} a ^ i b ^ j

donde los índices $los, j, k$ ${\ Displaystyle i, j, k}$ $yo, j, k$ son los componentes ortogonales del vector, utilizando la notación de Einstein .

Propiedad

El producto vectorial es bilineal , es decir, dado tres vectores $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Y $\mathbf {c}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf c$ que tiene igual tamaño y un escalar $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ :

(k\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (k\mathbf {b} )

{\ Displaystyle (k \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {A} \ times (k \ mathbf {b}) }

(K \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {A} \ times (k \ mathbf {b})

(\mathbf {a} +\mathbf {c} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {b}

{\ Displaystyle (\ mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}}

(\ Mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}

(Distributiva con respecto a la adición)

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ veces (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}}

\ Mathbf {A} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}

ocurre $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}$ $\ Mathbf {A} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}$ si y solo si $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ son linealmente dependientes . Particularmente, $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ tiempos \ mathbf {a} = \ vec {0}}$ $\ Mathbf {A} \ times \ vec {a} = \ vec {0}$
El producto vectorial es anticonmutativo (y por lo tanto no goza de la propiedad conmutativa), es decir:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}}

\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}

No es un producto real, porque no es asociativa .
El producto vectorial satisface la identidad de Jacobi :

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ veces (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ veces (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf { c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}}

\ Mathbf {A} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ veces (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ veces (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}

La propiedad antisimétrica, el bilinealidad y la media identidad de Jacobi que $(\mathbb {R} ^{3},+,\times )$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}, +, \ times)}$ $(\ Mathbb {R} ^ 3, +, \ times)$ es un álgebra de Lie .
Los versors (o vectores unimodulares de la base canónica ) $\mathbf {i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf yo$ , $\mathbf {j}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ , Y $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ relativa a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ satisfacer las siguientes ecuaciones:

\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}

{\ Displaystyle \ mathbf {i} \ times \ mathbf {j} = \ mathbf {k} \ qquad \ mathbf {j} \ times \ mathbf {k} = \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {k} \ times \ mathbf {i} = \ mathbf {j}}

\ mathbf i \ times \ mathbf j = \ mathbf k \ qquad \ mathbf j \ times \ mathbf k = \ mathbf i \ qquad \ mathbf k \ times \ mathbf i = \ mathbf j

Producto triple

El triple producto de tres vectores se define como:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})}

\ Mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})

Este es el volumen con la señal de la paralelepípedo con lados $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Y $\mathbf {c}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ , Y estos portadores pueden ser intercambiados:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}

\ Mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {c} \ cdot (\ vec {a} \ tiempos \ mathbf {b})

Otro producto de tres vector, llamado el doble producto vectorial, se relaciona con el producto escalar por la fórmula:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ veces (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ vec {a} \ cdot \ vec {b})}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ veces (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ vec {a} \ cdot \ vec {b})}

Como caso especial, tenemos:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f}

{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla ( \ nabla \ cdot \ vec {f}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {f}}

\ Nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec {f}) - \ nabla ^ 2 \ vec {f}

Esta es una relación particularmente útil en el cálculo diferencial , que se refiere a la equivalencia entre la doble rotor y la diferencia entre el gradiente de la divergencia $\nabla (\nabla \cdot )$ ${\ Displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot)}$ $\ Nabla (\ nabla \ cdot)$ y el Laplaciano $\nabla ^{2}$ ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ .

Otra relación que se une el producto vectorial con el producto triple es:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a}

{\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {C})) \ mathbf {a}}

(\ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf { c})) \ mathbf {a}

Mientras que para:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) y = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) y = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {alineado}}}

y más en general:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) y = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) y = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {alineado}}}

Identidad de Lagrange

Una identidad útil es:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}

{\ Displaystyle | \ vec {a} \ tiempos \ mathbf {b} | ^ {2} = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} y \ vec {a} \ cdot \ mathbf {b} \\\ mathbf {a} \ cdot \ vec {b} y \ vec {b} \ cdot \ vec {b} \\\ end {bmatrix}} = | \ vec {a} | ^ { 2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) ^ {2}}

| \ Vec {a} \ tiempos \ mathbf {b} | ^ 2 = \ det \ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} y \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ \ \ mathbf {a} \ cdot \ vec {b} y \ vec {b} \ cdot \ vec {b} \\ \ end {bmatrix} = | \ vec {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2

que puede ser comparado con la identidad Lagrange expresarse como:

\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}(\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2})=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}

{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ vec {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ vec {a \ cdot b}) ^ {2}}

{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ vec {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ vec {a \ cdot b}) ^ {2}}

en el cual $\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Y $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ son vectores n-dimensional. Esto muestra que la de Riemann forma volumen para superficies es exactamente el elemento de superficie del cálculo vectorial. En el caso de tres dimensiones, la combinación de las dos relaciones anteriores se obtiene el módulo del producto vectorial por escrito a través de los componentes:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}

{\ Displaystyle | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq 3} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ { j} b_ {i} \ right) ^ {2} = (a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}) ^ {2} + (a_ {2} b_ {3} -a_ { 3} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) ^ {2}}

| \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = \ sum_ {1 \ le i <j \ le 3} \ left (a_ib_j-a_jb_i \ right) ^ 2 = (a_1b_2 - b_1a_2) ^ 2 + (a_2b_3 - a_3b_2) ^ 2 + (a_3b_1-a_1b_3) ^ 2

Este es un caso especial de la multiplicación $|\mathbf {v} \mathbf {w} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$ ${\ Displaystyle | \ vec {v} \ vec {w} | = | \ vec {v} || \ vec {w} |}$ $| \ Vec v \ vec w | = | \ Mathbf v | | \ Vec w |$ de la norma en el álgebra de cuaterniones .

Diferenciación

Regla de Leibniz también se aplica al producto vectorial:

{\frac {d}{dx}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dx}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dx}}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = {\ frac {d \ mathbf {a}} {dx}} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ veces {\ frac {d \ mathbf {b}} {dx}}}

\ Frac {d} {dx} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ frac {d \ mathbf {a}} {dx} \ veces \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ tiempos \ frac {d \ mathbf {b}} {dx}

como se puede demostrar usando multiplicación de matrices representación.

Aplicaciones

El producto vectorial también es ampliamente utilizado en la física y la ingeniería, así como en la geometría y el álgebra. A continuación se muestra una lista no exhaustiva de algunas aplicaciones.

El momento angular y el momento mecánico

Representación del momento mecánico τ y el momento angular L para un cuerpo solidario en rotación en un plano . La fuerza F y el impulso p son "aplicado" al vector de posición r,

El momento angular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ Scriptstyle {\ mathbf {L}}$ de un cuerpo se define como:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ veces \ mathbf {p} \,}

{\ Mathbf {L}} = {\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {p}} \,

Dónde está $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {p}}$ es el vector de momento, mientras $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {r}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {r}}$ es el vector de posición del cuerpo con respecto al polo de referencia.

Del mismo modo, el impulso de una fuerza ^[2] se define como:

\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ veces \ mathbf {F} \,}

{\ Mathbf {M}} = {\ mathbf {R}} \ times {\ mathbf {F}} \,

Dónde está $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {F}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {F}}$ es la fuerza aplicada al punto identificado por el radio vector $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {r}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {r}}$ .

Ya que la ubicación $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {r}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {r}}$ , el impulso $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {p}}$ y la fuerza $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {F}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {F}}$ que son todos los vectores polares, tanto el impulso angular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ Scriptstyle {\ mathbf {L}}$ Es el momento mecánico $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {H}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {H}}$ que son pseudo-vectores o vectores axiales ^[3] .

Cuerpo rígido

El producto vectorial también aparece en la descripción de los movimientos de rotación. Por ejemplo, para dos puntos P y Q en un cuerpo rígido la siguiente ley de transporte de velocidad tiene:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}=\mathbf {\omega } \times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} - \ mathbf {v} _ {Q} = \ mathbf {\ omega} \ veces \ left (\ mathbf {r} _ {P} - \ mathbf {r} _ {Q} \ right) \,}

{\ Mathbf {v}} _ {P} - {\ mathbf {v}} _ {Q} = {\ mathbf {\ omega}} \ times \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - { \ mathbf {r}} _ {Q} \ right) \,

Dónde está $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {r}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {r}}$ es la posición de un punto, $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {v}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {v}}$ su velocidad y $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {\ omega}}$ la velocidad angular del cuerpo rígido.

Ya que la ubicación $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {r}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {r}}$ y la velocidad $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {v}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {v}}$ son vectores polares, la velocidad angular $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {\ omega}}$ es un pseudo-vector . ^[3]

fuerza de Lorentz

Mismo tema en detalle: fuerza de Lorentz .

Dada una partícula puntual, la fuerza electromagnética ejercida sobre él es igual a:

\mathbf {F} =q_{e}\,\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)

{\ Displaystyle \ vec {F} = Q_ {e} \, \ left (\ vec {E} + \ vec {v} \ tiempos \ vec {B} \ right)}

{\ Vec {F}} = Q_ {e} \, \ left ({\ mathbf {E}} + {\ mathbf {v}} \ veces {\ mathbf {B}} \ right)

Dónde está:

$\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ vec {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ es la fuerza electromagnética total, el también llamado la fuerza de Lorentz
$q_{e}$ ${\ Displaystyle q_ {e}}$ $q_ {e}$ es la carga eléctrica de la partícula
$\mathbf {E}$ ${\ Displaystyle \ vec {E}}$ ${\ Mathbf {E}}$ es el campo eléctrico
$\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf {v}}$ es la velocidad de la partícula
$\mathbf {B}$ ${\ Displaystyle \ vec {B}}$ ${\ Mathbf {B}}$ es el campo magnético

Tenga en cuenta que el componente magnético de la fuerza es proporcional al producto vectorial entre $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {v}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {v}}$ Y $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {B}}$ , Por lo tanto, siempre es perpendicular a la velocidad $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {v}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {v}}$ y no hace ningún trabajo.

Puesto que la velocidad $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {v}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {v}}$ , fuerza $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {F}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {F}}$ y el campo eléctrico $\scriptstyle \mathbf {E}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {E}}$ que son todos los vectores polares, el campo magnético $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {B}}$ es un pseudo-vector . ^[3]

Producto externo

Mismo tema en detalle: Álgebra externa .

Relación entre producto vectorial y producto externo: el producto vectorial se obtiene considerando el Hodge dual de la bivector

a\wedge b

{\ Displaystyle un \ wedge b}

un \ wedge b

.

El producto exterior (producto cuña) de dos vectores es un bivector, es decir, un elemento plano orientado (de manera similar a un vector que puede ser visto como un orientado elemento de línea ). Dados dos vectores $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , El bivector $a\wedge b$ ${\ Displaystyle un \ wedge b}$ $un \ wedge b$ se paralelogramo orientado formado por los dos vectores $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ . El producto vectorial se obtiene considerando el Hodge dual de la bivector $a\wedge b$ ${\ Displaystyle un \ wedge b}$ $un \ wedge b$ :

a\times b=*(a\wedge b)

{\ Displaystyle un \ tiempos b = * (A \ wedge b)}

un \ times b = * (a \ wedge B)

que mapea bivectores en vectores. Uno puede pensar en producto tal como un elemento multidimensional, que en tres dimensiones es un vector, que es "perpendicular" al bivector.

Generalizaciones

No hay análogo del producto vectorial en espacios de dimensión mayor que devuelve un vector. El producto externo , sin embargo, goza de propiedades muy similares, a pesar de que produce una bivector y no un vector. El Hodge dual de producto de cuña se obtiene un vector de $n-2$ ${\ Displaystyle n-2}$ $n-2$ componentes que es una generalización natural del producto vector en una dimensión arbitraria.

álgebras de Lie

Mismo tema en detalle: álgebra de Lie .

El producto vectorial se puede considerar como uno de los productos más simples de Lie, y por lo tanto se generaliza por álgebras de Lie, que se axiomatizada como productos binarios que satisfacen los axiomas de multilinealidad, antisimetría y la identidad de Jacobi . Por ejemplo, Heisenberg álgebra proporciona otra estructura de álgebra de Lie en $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . En la base $\{x,y,z\}$ ${\ Displaystyle \ {x, y, z \}}$ $\ {X, y, z \}$ el producto es:

[x,y]=z\qquad [x,z]=[y,z]=0

{\ Displaystyle [x, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0}

[X, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0

Extensiones multidimensionales

Un producto externo para los vectores de 7-dimensionales de manera similar se puede obtener mediante el uso de octoniones en lugar de cuaterniones. Por otro lado, no puede haber otras extensiones de producto vectorial que devuelven un vector ^[4] , y esto está conectado con el hecho de que la única normados álgebra de división son los que tienen dimensiones 1,2,4 y 8.

Sin embargo, si tenemos en cuenta el resultado de la operación ya no como un vector o pseudovector sino como una matriz , entonces es posible extender la idea de un producto vectorial en cualquier número de dimensiones ^[5] ^[6] .

En mecánica, por ejemplo, la velocidad angular se puede interpretar tanto como un pseudo-vector $\scriptstyle \omega$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ $\ scriptstyle \ omega$ tanto como una matriz antisimétrica $\scriptstyle \Omega$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ Scriptstyle \ Omega$ . En este último caso, la ley de transporte de velocidad para un cuerpo rígido será:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ Displaystyle \ vec {v} _ {P} - \ vec {v} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left (\ vec {r} _ {P} - \ vec {r} _ {Q } \ Derecha) \,}

{\ Mathbf {v}} _ {P} - {\ vec {v}} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - {\ vec {r }} _ {Q} \ right) \,

Dónde está $\scriptstyle \Omega$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ Scriptstyle \ Omega$ se define formalmente a partir de la matriz de rotación $\scriptstyle R^{N\times N}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle R ^ {N \ times N}}$ $\ ^ scriptstyle R {{N \ times N}}$ del cuerpo rígido:

\Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{T}

{\ Displaystyle \ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {t}}

\ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {T}

En el campo cuántico también el momento angular $\scriptstyle L$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle L}$ $\ Scriptstyle L$ que a menudo se representa con una matriz antisimétrica ^[7] , el resultado de un producto de la posición $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {x}}$ e impulso $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {p}}$ :

L_{ij}=x_{i}p_{j}-p_{i}x_{j}

{\ Displaystyle L_ {ij} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} x_ {j}}

L _ x_ {{ij}} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} {j}

Ya que $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {x}}$ Y $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {p}}$ que pueden tener un número arbitrario $\scriptstyle N$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle N}$ $\ N scriptstyle$ de los componentes, esta forma de producto "vector" (que también no produce un vector) puede generalizarse a cualquier dimensión, al tiempo que conserva la interpretación "física" de la propia operación.

álgebra multilineal

En el contexto de álgebra multilineal el producto vectorial puede ser visto como un (mixto) tensor de orden (1,2), específicamente un mapa bilineal , obtenido a partir de una de tres dimensiones forma de volumen por el aumento de los índices.

Simbolos

El producto vectorial x se representa como:

× en HTML
\times en LaTeX
U + 00D7 en Unicode
alt + sx 0215 (del teclado numérico) en Windows

Nota

^ Michael J. Crowe, Una Historia del análisis vectorial , habla en la Universidad de Louisville, 2002
^ También llamado par o momento mecánico en el contexto italiano. En Inglés se llama par o momento de una fuerza y por lo tanto indica con $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {\ tau}}$ o con $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {H}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {H}}$
^ ^Un ^b ^c Brevemente, un vector polar puede estar asociada con una traducción, mientras que un pseudovector está asociada con una rotación. A pseudovector refleja en un espejo cambiará entonces "dirección", (por ejemplo: desde la izquierda para obtener las agujas del reloj)
^ WS Massey, productos cruzados de vectores en espacios euclídeos de dimensiones superiores, The American Mathematical Monthly, 1983
^ AW McDavid y CD McMullen,Generalización de la Cruz los productos y las ecuaciones de Maxwell a Universal dimensiones extra , octubre de 2006
^ CA Gonano y RE Zich producto Cruz en n dimensiones - el producto doublewedge , agosto de 2014
^ Más precisamente, a través de un anti-simétrica tensor de orden 2.

Bibliografía

(ES) Jeffreys, H y Jeffreys, BS, métodos de la física matemática , Cambridge University Press, 1999.
(ES) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Definición 7.4: producto vectorial de dos vectores , en las matemáticas de ingeniería avanzada, tercero, Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 324, ISBN 0-7637-4591-X .
(ES) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, la Ecuación 7: a × b como suma de determinantes , en obra citada , Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 321, ISBN 0-7637-4591-X .
(ES) MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, análisis vectorial, Serie Schaum, McGraw Hill, 2009, p. 29, ISBN 978-0-07-161545-7 .
(ES) Vladimir A. Boichenko, Gennadii Alekseevich Leonov, Volker Reitmann,Teoría de la dimensión de ecuaciones diferenciales ordinarias , Vieweg + Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2 .
(ES) Pertii Lounesto, álgebras de Clifford y espinotensores , segundo, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5 .
(ES) Edwin Bidwell Wilson, análisis vectorial: Un libro de texto para uso de los estudiantes de matemáticas y física, se basa en las conferencias de J. Willard Gibbs , Yale University Press, 1901.
(ES) Michael J. Crowe, Una Historia del análisis vectorial (PDF), Dover, 1994, ISBN 0-486-67910-1 .

Tullio Levi-Civita y Ugo Amaldi, Lecciones de mecánica racional, vol. 1, Bologna, editor Zanichelli, 1949.
Adriano P. Morando y Sonia Leva, Notas sobre la teoría de los campos vectoriales, Bolonia, Esculapio, 1998.

Otros proyectos

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Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos de producto vectorial

enlaces externos

(ES) AA Bovdi, producto de la Cruz , en la Enciclopedia de Matemáticas , Springer y Sociedad Matemática Europea, 2002.
(ES) Eric W. Weisstein, Cruz del producto , en MathWorld Wolfram Research.
Umberto Scotti, el producto vectorial , rápida dispensación (4 páginas), Universidad de Nápoles Federico II.
Fernando Scarlassara, cálculo vectorial , notas básicas de conferencias (15 diapositivas ilustradas), Universidad de Padua.
Carlo Andrea Gonano, extensión ND de vectores y producto rotor y sus aplicaciones , Politécnico de Milán, diciembre de 2011.

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[1] Michael J. Crowe, Una Historia del análisis vectorial , habla en la Universidad de Louisville, 2002

[nomi_coppia-2] También llamado par o momento mecánico en el contexto italiano. En Inglés se llama par o momento de una fuerza y por lo tanto indica con $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {\ tau}}$ o con $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ vec {H}}$ $\ Scriptstyle {\ vec {H}}$

[pseudovettori-3] Un ^b ^c Brevemente, un vector polar puede estar asociada con una traducción, mientras que un pseudovector está asociada con una rotación. A pseudovector refleja en un espejo cambiará entonces "dirección", (por ejemplo: desde la izquierda para obtener las agujas del reloj)

[Massey2-4] WS Massey, productos cruzados de vectores en espacios euclídeos de dimensiones superiores, The American Mathematical Monthly, 1983

[cross_prod_Maxwell_ND-5] AW McDavid y CD McMullen,Generalización de la Cruz los productos y las ecuaciones de Maxwell a Universal dimensiones extra , octubre de 2006

[prod_vett_ND-6] CA Gonano y RE Zich producto Cruz en n dimensiones - el producto doublewedge , agosto de 2014

[momento_angolare_quantistico-7] Más precisamente, a través de un anti-simétrica tensor de orden 2.

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