Proporcionalidad (matemáticas)

En matemáticas , dos variables $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ se dice que son directamente proporcionales si existe una relación funcional de la forma:

\,y=kx

{\ Displaystyle \, y = kx}

\, y = kx

caracterizado por una constante numérica distinta de cero $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ .

Descripción

Esta $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ se llama constante de proporcionalidad de la relación. Para informar que $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ Y $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ son proporcionales sin especificar la constante de proporcionalidad, usamos scripts como:

y\sim x

{\ Displaystyle y \ sim x}

y \ sim x

o

y\propto x

{\ Displaystyle y \ propto x}

y \ propto x

o

\,y={\mbox{cost.}}\;x

{\ Displaystyle \, y = {\ mbox {costo.}} \; x}

\, y = {\ mbox {costo.}} \; x

.

Por ejemplo, si un vehículo se mueve a velocidad constante, la duración de su movimiento y la distancia que recorre son proporcionales; o si se adjunta un peso a un resorte, el alargamiento es proporcional al peso adjunto; en el primer caso, la constante de proporcionalidad es la velocidad del vehículo. En el segundo caso, la fuerza (física) ejercida sobre un cuerpo material por la gravedad de la Tierra en un lugar determinado es proporcional a la masa del cuerpo.

Desde el punto de vista de la física , la verificación de la proporcionalidad entre dos cantidades $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ necesita realizar medidas adecuadas, cuyos resultados deben visualizarse como puntos en un diagrama cartesiano . Si los puntos pertenecen a una línea o, de manera más realista, están cerca de una línea que pasa por el origen $(0;0)$ ${\ displaystyle (0; 0)}$ ${\ displaystyle (0; 0)}$ , entonces las dos variables son proporcionales y la constante de proporcionalidad viene dada por la pendiente de la línea.

Dos cantidades $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ se dice que son inversamente proporcionales si hay una constante distinta de cero $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ tal que se pueda decir

y={k \over x}

{\ Displaystyle y = {k \ over x}}

y = {k \ over x}

.

Por ejemplo, el número de personas que deben ser contratadas para recolectar tomates en una finca es, en buena aproximación, inversamente proporcional al número de días dentro de los cuales se completará el trabajo.

El estudio de la noción de proporcionalidad se atribuye a Eudoxo de Cnidus y tiene gran importancia para la historia de las matemáticas . De hecho, esta noción en el siglo IV a. C. permitió tratar con rigor lo que ahora se llaman números reales , abrió la posibilidad de definir modelos físico-matemáticos y ayudó a que las matemáticas alcanzaran el estatus de ciencia.

En muchas situaciones en las que existen relaciones funcionales no lineales pero, por ejemplo, logarítmicas , exponenciales , cuadráticas , cúbicas o polinomiales en general, a efectos de exposición puede resultar útil referirse a las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. Para ello basta con introducir una variable intermedia que tenga una forma como

Y=\log(y)\quad Y=\exp(y)\quad Y=y^{2}\quad Y={\sqrt {y}}\quad Y=y^{3}\quad ...

{\ Displaystyle Y = \ log (y) \ quad Y = \ exp (y) \ quad Y = y ^ {2} \ quad Y = {\ sqrt {y}} \ quad Y = y ^ {3} \ quad ...}

Y = \ log (y) \ quad Y = \ exp (y) \ quad Y = y ^ {2} \ quad Y = {\ sqrt {y}} \ quad Y = y ^ {3} \ quad ...

.

Significado de proporción y cuaternario de números proporcionales

El término proporción puede considerarse sinónimo de razón y la razón entre dos números reales. $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , el segundo de los cuales es diferente de cero, es el cociente del primer número con respecto al segundo y se indica mediante:

\,a:b\ \quad {\mbox{oppure}}\quad {\frac {a}{b}}

{\ Displaystyle \, a: b \ \ quad {\ mbox {o}} \ quad {\ frac {a} {b}}}

\, a: b \ \ quad {\ mbox {o}} \ quad {\ frac {a} {b}}

Al término proporción también se le puede atribuir el significado de una relación particular entre cuatro números.

Citando a Euclides : Cuatro números son proporcionales entre sí, si el primero es un múltiplo o parte del segundo, como lo es el tercero con respecto al cuarto. ( Def.20 - Libro VII de los Elementos de Euclides )

Se dice que cuatro números reales son positivos $a,\;b,\;c$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ son proporcionales entre sí, si la relación del primero al segundo es igual a la relación del tercero al cuarto; en fórmula:

a:b=c:d\quad {\mbox{oppure}}\quad {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad {\ mbox {o}} \ quad {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

a: b = c: d \ quad {\ mbox {o}} \ quad {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}

Esta relación cuaternaria dice: $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Eso es para $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ igual que $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Eso es para $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ .

Para expresar esta situación también podemos decir que los números $a,\;b,\;c$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ , en el orden en que constituyen un cuaternario de números proporcionales . Este término es preciso pero un poco pesado y se puede abreviar a un cuaternario proporcional .

Por ejemplo, los números 3, 6, 5, 10 forman un cuádruple de enteros proporcionales porque la razón 3/6 es igual a la razón 5/10. Otros quads proporcionales son

(1.2, 2.7, 5.6, 12.6) y (15, 0.8, 21, 1.12)

Los números $a,\;b,\;c$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ ${\ Displaystyle a, \; b, \; c}$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ se llaman términos de proporción y en particular $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ dicen antecedentes de la proporción , $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ Consecuentes de la proporción , $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ extremos de la proporción , $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ Y $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ promedios de la proporción ; en el final $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ se llama el cuarto proporcional que sigue $a,\;b$ ${\ Displaystyle a, \; b}$ ${\ Displaystyle a, \; b}$ Y $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ .

De la definición obtenemos inmediatamente la propiedad fundamental de las proporciones:

Si cuatro números están en proporción, el producto del primero con el cuarto es igual al producto del segundo con el tercero. ^[1]

En otras palabras: en cada cuaternario proporcional, el producto de las medias es igual al producto de los extremos . En formula

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad ad=bc

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad ad = bc}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad ad = bc

Otras propiedades derivan de esta propiedad:

1. Regla del cuarto proporcional

Fíjate en tres números $a,\;b$ ${\ Displaystyle a, \; b}$ ${\ Displaystyle a, \; b}$ Y $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ , el cuarto proporcional, $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ , tal que $\,a:b=c:d$ ${\ Displaystyle \, a: b = c: d}$ $\, a: b = c: d$ , viene dado por:

d={\frac {bc}{a}}

{\ Displaystyle d = {\ frac {bc} {a}}}

d = {\ frac {bc} {a}}

Del mismo modo tenemos las fórmulas

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad a={\frac {bc}{d}}~,~~b={\frac {ad}{c}}~,~~c={\frac {ad}{b}}

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {bc} {d}} ~, ~~ b = {\ frac {ad} {c}} ~, ~~ c = {\ frac {ad} {b}}}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {bc} {d}} ~, ~~ b = {\ frac {ad} {c}} ~, ~~ c = {\ frac {ad} {b}}

2. Propiedades del invertido

Dada una cuaternaria proporcional, se obtiene otra intercambiando cada antecedente con su consecuente:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad b:a=d:c

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad b: a = d: c}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad b: a = d: c

3. Propiedades del intercambio

Dada una cuaternaria proporcional, se obtiene otra intercambiando entre ellas o las medias o los extremos:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad a:c=b:d\,,\quad d:b=c:a\,,\quad d:c=b:a

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a: c = b: d \ ,, \ quad d: b = c: a \ ,, \ quad d: c = b: a}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad a: c = b: d \ ,, \ quad d: b = c: a \ ,, \ quad d: c = b: a

4. Propiedades de la composición

En cada cuaternario proporcional, la suma de los antecedentes es la suma de los consecuentes como cada antecedente es de su consecuente:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b\,,\quad (a+c):(b+d)=c:d

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a + c) :( b + d) = a: b \ ,, \ quad (a + c) :( b + d) = c: D}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a + c) :( b + d) = a: b \ ,, \ quad (a + c) :( b + d) = c: d

Demostración

$a:b=c:d$ ${\ Displaystyle a: b = c: d}$ $a: b = c: d$ (1)

Se aplica la propiedad del viaje diario a los medios.

$a:c=b:d$ ${\ Displaystyle a: c = b: d}$ $a: c = b: d$

La proporción, aplicando la propiedad del inverso, también se puede escribir como

$c:a=d:b$ ${\ Displaystyle c: a = d: b}$ $c: a = d: b$

Esta forma es equivalente a

$(a+c):a=(b+d):b$ ${\ Displaystyle (a + c): a = (b + d): b}$ $(a + c): a = (b + d): b$ (2)

En efecto

$(a+c):a=(b+d):b\Rightarrow {\frac {a+c}{a}}={\frac {b+d}{b}}\Rightarrow 1+{\frac {c}{a}}=1+{\frac {d}{b}}\Rightarrow {\frac {c}{a}}={\frac {d}{b}}\Rightarrow c:a=d:b$ ${\ Displaystyle (a + c): a = (b + d): b \ Rightarrow {\ frac {a + c} {a}} = {\ frac {b + d} {b}} \ Rightarrow 1+ { \ frac {c} {a}} = 1 + {\ frac {d} {b}} \ Flecha derecha {\ frac {c} {a}} = {\ frac {d} {b}} \ Flecha derecha c: a = d: b}$ $(a + c): a = (b + d): b \ Rightarrow {\ frac {a + c} {a}} = {\ frac {b + d} {b}} \ Rightarrow 1 + {\ frac { c} {a}} = 1 + {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow {\ frac {c} {a}} = {\ frac {d} {b}} \ Rightarrow c: a = d: B$

Por tanto, la propiedad de permutar sobre los promedios se aplica una vez más a (2) y finalmente

$(a+c):(b+d)=a:b$ ${\ Displaystyle (a + c) :( b + d) = a: b}$ $(a + c) :( b + d) = a: b$

Del mismo modo, también se demuestra la otra identidad.

5. Propiedades de la descomposición

En cada cuaternario proporcional, la diferencia de los antecedentes es a la diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su consecuente:

a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad (a-c):(b-d)=a:b\,,\quad (a-c):(b-d)=c:d

{\ Displaystyle a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (ac) :( bd) = a: b \ ,, \ quad (ac) :( bd) = c: d}

a: b = c: d \ quad \ Rightarrow \ quad (a-c) :( b-d) = a: b \ ,, \ quad (a-c) :( b-d) = c: d

Cuando coinciden los dos promedios de una cuaternaria proporcional, es decir, cuando

a:b=b:d\quad {\mbox{ovvero}}\quad b^{2}=a\cdot d

{\ Displaystyle a: b = b: d \ quad {\ mbox {es decir}} \ quad b ^ {2} = a \ cdot d}

a: b = b: d \ quad {\ mbox {es decir}} \ quad b ^ {2} = a \ cdot d

su valor común es la media geométrica de los dos extremos. El número $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ es la parte media proporcional entre los números $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ . Las proporciones de este tipo se denominan continuas .

Nota

^ Prop.19 - Libro VII de los elementos de Euclides

Otros proyectos

enlaces externos

(EN) Proporcionalidad , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] Prop.19 - Libro VII de los elementos de Euclides

[1]