Puntos de Lagrange

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Los puntos lagrangianos en un sistema de tres cuerpos. Las flechas de colores indican la dirección del gradiente del potencial generalizado del campo.

En el problema de los tres cuerpos los puntos de Lagrange , técnicamente llamados puntos de oscilación , son aquellos puntos en el espacio donde dos cuerpos con gran masa, mediante la interacción de la respectiva fuerza gravitacional , permiten que un tercer cuerpo con mucha menor masa mantenga una posición estable relativa. a ellos.

En un sistema planetario implica que un objeto pequeño, como un satélite o un asteroide, que comparte la misma órbita de un planeta y posicionado en un punto de Lagrange , mantendrá constantes las distancias entre los principales cuerpos celestes, la estrella y el planeta. con el que comparte la órbita.

Para que esto suceda, la resultante de las aceleraciones gravitacionales impartidas por los cuerpos celestes al objeto debe ser exactamente la aceleración centrípeta necesaria para mantener el objeto en órbita a esa distancia particular del cuerpo celeste más grande, con la misma velocidad angular que el planeta. .pequeño. Estos puntos se denominan Lagrange en honor al matemático Joseph-Louis de Lagrange quien en 1772 calculó su posición.

Descripción de los puntos lagrangianos

A continuación, los dos cuerpos principales se identificarán con sus masas M 1 y M 2 , asumiendo que M 1 > M 2; por ejemplo, M 1 podría ser el Sol y M 2 la Tierra . Elija un sistema de referencia no inercial con origen en el centro de masa del sistema y en el que los dos cuerpos principales estén inmóviles. En este sistema de referencia, por tanto, aparecerán fuerzas aparentes : la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis .

L 1

El punto L 1 se encuentra entre los dos cuerpos a lo largo de la línea que pasa por M 1 y M 2 . Es el punto más fácil de entender intuitivamente: de hecho, es el punto en el que la atracción gravitacional de M 2 anula parcialmente la de M 1 .

Despreciando la atracción de M 2 , un cuerpo que orbita alrededor de M 1 en una órbita más cercana que M 2 tendría un período más corto, debido a la mayor fuerza de gravedad ejercida por el primer cuerpo, pero si también consideramos M 2 , el total centrípeto la fuerza es menor cuanto mayor sea el período. El punto L 1 está ubicado precisamente en el punto donde el período de un cuerpo colocado allí es exactamente igual al período de M 2 .

En astronomía, el punto L 1 del sistema Sol-Tierra es un punto de observación ideal para el Sol, ya que en esa posición nunca es eclipsado por la Tierra o la Luna . Los observatorios SOHO ( Solar and Heliospheric Observatory ) y ACE ( Advanced Composition Explorer ) están en órbita alrededor del punto L 1 .

L 2

Punto L 2 del sistema Sol-Tierra. Se encuentra mucho más allá del radio de la órbita lunar.

El punto L 2 todavía se encuentra en la misma línea que el punto L 1 , pero más allá del cuerpo más pequeño M 2 . En este punto, la fuerza gravitacional combinada de los dos cuerpos es igual a la fuerza centrífuga. Si se desprecia la atracción gravitacional de M 2 , un cuerpo con un radio orbital mayor que el de M 2 sufre una fuerza de gravedad debida a M 1 que es menor que la que sufre el segundo cuerpo y por lo tanto tiene un período más largo; sin embargo, si también se considera el campo generado por M 2 , la fuerza centrípeta aumenta ya medida que aumenta el período disminuye. L 2 está en el punto donde el período orbital del cuerpo colocado allí es igual al período de M 2 .

El punto L 2 del sistema Sol-Tierra es un excelente punto de observación espacial, debido a la estabilidad de la iluminación solar que facilita la gestión térmica de la instrumentación y el apuntamiento hacia el espacio profundo. Planck Surveyor , la sonda de anisotropía de microondas Wilkinson , el observatorio espacial Herschel y la sonda GAIA ya están en órbita alrededor de L 2; el telescopio espacial James Webb está destinado a orbitarnos.

Si la masa M 1 es mucho mayor que la masa M 2, entonces las distancias de L 1 y L 2 de M 2 son aproximadamente las mismas, iguales al radio de la esfera Hill :

donde R es la distancia entre los dos cuerpos. Por ejemplo, en el sistema Tierra-Luna, el radio de la esfera Hill r es aproximadamente 61 500 km , mientras que en el sistema Sol-Tierra r es 1 500 000 km.

L 3

Como los dos puntos anteriores, L 3 también se encuentra en la línea identificada por M 1 y M 2 , pero más allá de M 1 , ligeramente fuera de la órbita de M 2 alrededor de M 1 pero un poco más cerca de ella que L 2; la aparente contradicción no existe, debido al movimiento de M 1 alrededor del centro de masa del sistema.

Diagrama que muestra las relaciones entre las aceleraciones gravitacionales en L 4

L 4 y L 5

Los puntos L 4 y L 5 se encuentran en los terceros vértices de los dos triángulos equiláteros [1] en el plano de la eclíptica teniendo como base común el segmento que une los centros de masa de M 1 y M 2 .

La razón por la que se trata de puntos de equilibrio es que en L 4 y L 5 las distancias entre ellos y las dos masas M 1 y M 2 son iguales: en consecuencia, las fuerzas de gravedad que actúan sobre un cuerpo en uno de estos dos puntos lagrangianos en los que se encuentran la misma relación de las dos masas M 1 y M 2 . La geometría del sistema asegura que la fuerza resultante se dirigirá hacia el centro de gravedad del sistema. Dado que es tanto el centro de masa como el centro de rotación del sistema, la fuerza resultante es exactamente la necesaria para mantener el cuerpo en equilibrio orbital con las otras masas. En realidad, el tercer cuerpo no necesita tener una masa insignificante. Esta configuración de equilibrio fue descubierta por Joseph-Louis Lagrange mientras trabajaba en el problema de los tres cuerpos .

Los puntos L 4 y L 5 también se denominan puntos triangulares de Lagrange o puntos Trojan por el nombre de los asteroides, llamados asteroides troyanos , ubicados en los puntos L 4 y L 5 del sistema Sol- Júpiter .

Estabilidad

Representación 3D del potencial efectivo (superficie gris) de un sistema en órbita estelar-planeta. Las líneas equipotenciales están en violeta, los puntos lagrangianos en rojo, el planeta en azul y la estrella en amarillo. [2]

Los tres puntos de Lagrange alineados con el sistema M 1 - M 2 , es decir, L 1 , L 2 y L 3 , son puntos silla del potencial, por lo tanto, una pequeña perturbación del estado de equilibrio es suficiente para asegurar que el objeto siempre se aleje más. desde el propio punto lagrangiano, moviéndose a lo largo del eje que une los cuerpos. Sin embargo, esto no impide la existencia de órbitas cuasi-periódicas alrededor de estos puntos, llamadas órbitas de halo , órbitas de Lissajous (que siguen una curva de Lissajous ) u órbitas de Lyapunov .

Los puntos L 4 y L 5 están ubicados en los vértices de los dos triángulos equiláteros que tienen como otros dos vértices los centros de masa de los cuerpos M 1 y M 2 . Estos puntos son en realidad puntos de máximo potencial y por lo tanto puntos aparentes de inestabilidad, pero en realidad pueden ser estables gracias a la fuerza de Coriolis si la masa de M 1 es al menos 25 veces la de M 2 o más precisamente:

donde M 1 y M 2 son las masas del cuerpo de mayor masa y del cuerpo de menor masa, respectivamente.

Satélites orbitando en puntos de Lagrange

Un diagrama que muestra los cinco puntos lagrangianos en un sistema de dos cuerpos con uno mucho más masivo que el otro (por ejemplo, el Sol y la Tierra). En tal sistema, los puntos L 3 , L 4 y L 5 parecen pertenecer a la órbita del cuerpo menor, pero en realidad están un poco fuera.

En astronomía , los puntos lagrangianos identifican un punto particular de una órbita en un sistema de cuerpos , un planeta o un satélite ; los puntos lagrangianos son los únicos puntos en los que se pueden ubicar cuerpos menores, o grupos de cuerpos menores, para compartir de manera estable la órbita de un cuerpo mayor, ya que las atracciones gravitacionales se anulan entre sí. Una situación típica es la de los asteroides troyanos , entre los cuales los más famosos son los de Júpiter (recientemente se han descubierto los "Troyanos de Neptuno ") organizados en dos grupos que comparten la órbita del gigante, uno que lo precede en 60 ° y otro que lo sigue a la misma distancia angular .

También se encuentran ejemplos en los sistemas de satélites: Thetis , el satélite de Saturno , comparte la órbita con dos lunas muy pequeñas, Telestus y Calypso , ubicadas en los puntos lagrangianos de su órbita. Asimismo, Dione , el satélite inmediatamente más externo, comparte su órbita con la luna muy pequeña Elena en uno de sus puntos de Lagrange.

La Luna también comparte su órbita alrededor de la Tierra con dos objetos, las nubes Kordylewski ; y en octubre de 2010, se descubrió el primer asteroide troyano de la Tierra, 2010 TK7 . [3]

Nota

  1. ^ A. Urso, Ecuaciones de puntos lagrangianos. ( PDF ), en sites.google.com .
  2. ^ Seidov, problema de Roche , en iopscience.iop.org .
  3. ^ NASA - El asteroide troyano comparte órbita con la Tierra , en nasa.gov . Consultado el 29 de julio de 2011 .

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