Punto material

La masa gris se puede simplificar representándola como un punto material (es decir, un cuerpo en forma de punto con masa ). En física, esta aproximación se utiliza para describir la dinámica de cuerpos extendidos cuando es posible descuidar su estructura interna (como en el caso de la aproximación de cuerpo rígido ). En la imagen el cuerpo (en gris) se aproxima como un punto material en su centro de masa (en negro). Toda la masa del cuerpo se concentra en un punto.

En física , un punto material se define como un cuerpo cuyas dimensiones son insignificantes en comparación con el fenómeno en estudio. Por ejemplo, un planeta puede considerarse un punto material en un problema de mecánica celeste , un átomo en un problema de mecánica estadística, etc.

Descripción

En general, un punto material se caracteriza solo por las tres coordenadas espaciales , por las velocidades relativas y por su masa . Esto significa que esquematizar un cuerpo como punto material equivale a descuidar la existencia de sus grados internos de libertad : un punto material no puede almacenar energía girando sobre sí mismo, calentándose o comprimiéndose elásticamente.

Todos estos fenómenos, de hecho, para ser descritos requieren un modelado más detallado del cuerpo: siempre refiriéndonos a un ejemplo concreto, un planeta puede ser tratado como un cuerpo rígido , más que como un punto material, si uno está interesado en su rotación. . La utilidad del concepto de punto material radica en poder asociar un punto geométrico con el cuerpo y por tanto poder operar en el espacio cartesiano con los métodos de la geometría analítica .

Coherencia con los principios de la dinámica.

La posibilidad de tratar cualquier cuerpo como un punto material no se da por sentada. De hecho, en la mecánica clásica, el segundo principio de la dinámica es estrictamente válido para un punto material:

{\vec {F}}=m{\vec {a}}

{\ Displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}}

{\ vec {F}} = m {\ vec {a}}

y, para que un sistema extendido sea aproximado como un punto material, debe ser posible confundir la aceleración de su centro de masa con la aceleración del punto material que lo representa. Asimismo, debe ser posible identificar la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo con la fuerza que actúa sobre el punto material que lo representa.

Esto es posible solo porque la primera ecuación cardinal de dinámica se aplica a sistemas extendidos, a saber:

\Sigma _{i}{\vec {F_{i}}}=m{\vec {a}}_{CM}

{\ Displaystyle \ Sigma _ {i} {\ vec {F_ {i}}} = m {\ vec {a}} _ {CM}}

\ Sigma _ {i} {\ vec {F_ {i}}} = m {\ vec {a}} _ {{CM}}

Dónde está $F_{i}$ ${\ Displaystyle F_ {i}}$ $F_ {i}$ son las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (cuya suma al primer miembro es precisamente la resultante) e ${\vec {a}}_{CM}$ ${\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {CM}}$ ${\ vec {a}} _ {{CM}}$ es la aceleración del centro de masa del cuerpo.

De lo contrario ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}}$ ${\ vec {F}} = m {\ vec {a}}$ y la representación de un punto material se aplicaría sólo a cualquier constituyente elemental realmente desprovisto de estructura interna, pero sería inaplicable a cuerpos extendidos. Por tanto, sería imposible representar como punto material cualquier cuerpo cuyos grados internos de libertad puedan despreciarse.

Tratamiento analítico

Es posible dar una descripción matemáticamente rigurosa del punto material mediante el uso del análisis funcional y la distribución delta de Dirac .

Supongamos que tenemos un cuerpo de masa m = 1 kg de forma cúbica (incluso si la forma no es esencial). Si el borde del cubo es $l_{n}={\frac {1}{n}}$ ${\ Displaystyle l_ {n} = {\ frac {1} {n}}}$ $l_ {n} = {\ frac {1} {n}}$ , con n entero positivo, la densidad del cubo debe ser:

\rho (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)>1/2n\\n^{3},&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)\leq 1/2n\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \ rho (x, y, z) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z | )> 1 / 2n \\ n ^ {3}, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |) \ leq 1 / 2n \ end {matriz}} \ Derecha.}

\ rho (x, y, z) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |)> 1 / 2n \\ n ^ {3}, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |) \ leq 1 / 2n \ end {matriz}} \ right.

de tal forma que la densidad, integrada en todo el espacio, da 1:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho {\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z=n^{3}\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}x\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}y\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}z=n^{3}\left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)=1

{\ Displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ rho {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} x \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} y \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1 } {n}} \ derecha) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) = 1}

\ iiint _ {{{\ mathbb {R}} ^ {3}}} \ rho {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox {d}} x \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox { d}} y \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) = 1

Interpretar la función de densidad como funcional $F_{n}$ ${\ Displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ en el espacio de función de prueba $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ sobre $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ , la convergencia (en el sentido de distribuciones) al funcional delta de Dirac se demuestra fácilmente:

\lim _{n\rightarrow \infty }\left|F_{n}-\varphi (0,0,0)\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho \varphi (x,y,z){\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z-\varphi (0,0,0)\right|=

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left | F_ {n} - \ varphi (0,0,0) \ right | = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ rho \ varphi (x, y, z) {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z- \ varphi ( 0,0,0) \ right | =}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ left | F_ {n} - \ varphi (0,0,0) \ right | = \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ left | \ iiint _ {{{\ mathbb {R}} ^ {3}}} \ rho \ varphi (x, y, z) {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z- \ varphi (0,0,0) \ right | =

=\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{|x|,|y|,|z|\leq 1/2n}\left|\varphi (x,y,z)-\varphi (0,0,0)\right|=0

{\ displaystyle = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sup _ {| x |, | y |, | z | \ leq 1 / 2n} \ left | \ varphi (x, y, z) - \ varphi (0,0,0) \ right | = 0}

= \ lim _ {{n \ flecha derecha \ infty}} \ sup _ {{| x |, | y |, | z | \ leq 1 / 2n}} \ left | \ varphi (x, y, z) - \ varphi (0,0,0) \ right | = 0

donde el último paso se debe a la continuidad de $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ en un barrio del origen.

En otras palabras, para n que tiende a infinito, el funcional $F_{n}(\varphi )$ ${\ Displaystyle F_ {n} (\ varphi)}$ $F_ {n} (\ varphi)$ solo devuelve la función de prueba $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ calculado en el origen: pero esta es precisamente la definición del delta de Dirac. Más físicamente, se observa que a medida que n aumenta la densidad explota hasta el infinito, mientras que el cubo se hace cada vez más pequeño; sin embargo, las cosas están equilibradas al calcular la masa del cuerpo, que siempre resulta igual a 1.

Punto material

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Coherencia con los principios de la dinámica.

Tratamiento analítico

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