Radiante

Ángulo medido en radianes.

El radianes (generalmente indicado como rad cuando es necesario), es la unidad de medida de la amplitud de los ángulos del Sistema Internacional de Unidades . Esta medida representa la relación entre la longitud del arco de la circunferencia trazada por el ángulo y la longitud del radio de esa circunferencia; siendo la relación entre dos cantidades homogéneas, es un número puro .

Definición de radiante

Un arco de un círculo de la misma longitud que el radio del mismo círculo corresponde a un ángulo de 1 radián. Un círculo completo corresponde a un ángulo de 2π radianes.

Algunos ángulos medidos en radianes

Toma un círculo centrado en el vértice del ángulo. Déjalos ser $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ la longitud del arco interceptado por el ángulo de la circunferencia, $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ el del radio de la circunferencia, $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ el de la circunferencia e $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ el ancho del ángulo. El informe $l/r$ ${\ Displaystyle l / r}$ ${\ Displaystyle l / r}$ no depende de la longitud del radio, sino solo del ancho del ángulo. Esta circunstancia nos permite definir la medida del ángulo en radianes como:

$\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {l} {r}}}$ $\ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = \ frac {l} {r}$

$l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$ ${\ Displaystyle l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}$ $l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}$

De aquí se desprende que el radián es un número puro, es decir, adimensional, ya que expresa la relación entre dos longitudes.

De hecho: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definimos como radianes la amplitud del ángulo que subtiende un arco de circunferencia que, cuando se ajusta, tiene una longitud igual al radio de la propia circunferencia. En otras palabras, un radián es el ángulo que se produce en un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

Siendo la longitud de la circunferencia $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ igual a $2\pi r$ ${\ Displaystyle 2 \ pi r}$ $2 \ pi r$ y el largo alcance $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ , el ángulo de un círculo es igual a $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.}

\ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.

Recordando que la medida de la longitud de la circunferencia es:

c=2\pi r,

{\ Displaystyle c = 2 \ pi r,}

c = 2 \ pi r,

puedes escribir la siguiente proporción:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},

{\ Displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},}

{\ frac {\ alpha ^ {{(\ circ)}}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},

$\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es una función de $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ :

\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),

{\ Displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = f \ left (l \ right),}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} = f \ left (l \ right),

es decir

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},

{\ Displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},

a partir del cual

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ Displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}

Por lo tanto, al posar $l=r$ ${\ Displaystyle l = r}$ $l = r$ , de la ecuación anterior obtenemos:

\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}

{\ Displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}

Ahora expresamos un ángulo redondo en radianes:

360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}

{\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ} } {2 \ pi}} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}}

360 ^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi }} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}

Con la siguiente proporción obtenemos las fórmulas para pasar de radianes a grados sexagesimales y viceversa:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi}

\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }

{\ Displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}

\ alpha ^ {(\ circ)} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.

{\ Displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {(\ circ)}.}

\ alpha ^ {{{\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {{(\ circ)}}.

Utilidad de la elección del radianes

La medida del radianes permite tener fórmulas trigonométricas mucho más sencillas que las que se obtendrían adoptando los grados sexagesimales u otras unidades de medida de los ángulos.

Básicamente las ventajas del radiante derivan del hecho de que, con esta unidad, se obtiene la expresión simple

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

y de esto obtenemos muchas otras identidades elegantes de cálculo infinitesimal que tienen importantes consecuencias prácticas. Entre estos

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}

{\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots

{\ Displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots

{\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots}

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots

.

Si midió ángulos en grados u otras unidades, las fórmulas como la anterior tendrían que compararse con las constantes de conversión y sus potencias.

Conversión de grados-radianes

Diagrama para la conversión de grados-radianes

Un radianes es igual a $180/\pi$ ${\ Displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ grados. Por tanto, para convertir radianes a grados es suficiente multiplicar por $180/\pi$ ${\ Displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ :