Radiación electromagnética

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Podría ser una onda electromagnética sinusoidal polarizada linealmente que se propaga en la dirección + z en un medio homogéneo, isotrópico y sin pérdidas como el vacío. El campo eléctrico (flechas azules) oscila en la dirección ± x , y el campo magnético ortogonal (flechas rojas) oscila en fase con el campo eléctrico en la dirección ± y .

En física, la radiación electromagnética es la propagación en el espacio de la energía del campo electromagnético [1] .

Según la electrodinámica clásica , consta de ondas electromagnéticas, que consisten en oscilaciones sincronizadas de campos eléctricos y magnéticos que viajan a la velocidad de la luz en el vacío. En medios isotrópicos y homogéneos, las oscilaciones de los dos campos son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda, por lo que constituyen una onda transversal . El frente de onda de una onda electromagnética emitida por una fuente puntual (como una bombilla) es una esfera. La posición de una onda electromagnética en el espectro electromagnético se puede determinar basándose en la frecuencia o longitud de onda de oscilación. Las ondas electromagnéticas de diferentes frecuencias tienen diferentes nombres ya que son generadas por diferentes fuentes y tienen diferentes efectos sobre la materia. Las radiaciones en orden de frecuencia creciente y longitud de onda decreciente son: ondas de radio , microondas , radiación infrarroja , luz visible , radiación ultravioleta , rayos X y rayos gamma [2] . Las ondas electromagnéticas son emitidas por partículas cargadas aceleradas [3] y, en consecuencia, pueden interactuar con otras partículas cargadas.

En mecánica cuántica , la radiación electromagnética se interpreta como compuesta por fotones , partículas elementales neutras con masa en reposo cero que son los cuantos del campo electromagnético responsables de todas las interacciones electromagnéticas [4] . La electrodinámica cuántica es la teoría que explica la interacción de la radiación electromagnética con la materia a nivel atómico [5] . Los efectos cuánticos proporcionan fuentes adicionales de ondas electromagnéticas, como la transición electrónica a un nivel de energía más bajo en un átomo y la radiación del cuerpo negro [6] . La energía de cada fotón individual se cuantifica y es mayor para los fotones de mayor frecuencia. constante de Planck relaciona la frecuencia del fotón con su energía según la ley de Planck , .

La radiación electromagnética se puede propagar en el vacío, como el espacio interplanetario , en medios de baja densidad como la atmósfera o en estructuras de guía como guías de ondas . Las aplicaciones tecnológicas que aprovechan la radiación electromagnética son variadas. En general, se pueden distinguir dos macrofamilias de aplicaciones: en la primera se encuentran las ondas electromagnéticas utilizadas para transportar información ( radiocomunicaciones como radio , televisión , teléfonos móviles , satélites artificiales , radares , radiografías ), en la segunda las de transporte de energía, tales como el horno de microondas .

Orígenes

Las ondas electromagnéticas se predijeron teóricamente antes de ser detectadas experimentalmente: las ecuaciones de Maxwell , que resumen el electromagnetismo clásico, admiten una solución ondulatoria que se propaga en el vacío a la velocidad de la luz. Fueron entonces las experiencias de Hertz para confirmar la existencia de las llamadas "ondas hertzianas", y para medir su velocidad. El experimento de Michelson-Morley demostró la independencia de la velocidad de la luz de la dirección de propagación y, gracias a otras experiencias que se consideran suficientes para falsear las llamadas teorías balísticas de la luz , la experiencia crucial que socavó la mecánica clásica que requería la formulación de la relatividad especial. Es sobre la base de esta teoría, una de las mejores teorías controladas empíricamente, que es posible establecer las propiedades de la radiación electromagnética en el vacío.

Los estudios sobre el efecto fotoeléctrico , entre los que destaca la contribución de Albert Einstein en 1905 (que le valió el Premio Nobel ), destacaron la existencia de un umbral de frecuencia por debajo del cual este efecto no se produce, independientemente de la intensidad (amplitud) de la radiación incidente. Experiencias relacionadas, como la medición del espectro del cuerpo negro , y los intentos relacionados de justificación teórica, llevaron a los físicos de principios del siglo pasado a reabrir el debate secular sobre la naturaleza de la luz, del cual las ecuaciones de Maxwell parecían constituir la solución definitiva., introduciendo la noción del cuanto de energía . El cuanto de radiación electromagnética se llama fotón y es una partícula (en el sentido de la mecánica cuántica ) que sigue la estadística de Bose - Einstein , es decir, un bosón .

Ecuación de ondas electromagnéticas

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: Ecuación de onda .

La ecuación que describe la propagación de una onda electromagnética es la ecuación de onda, que se puede escribir a partir de los campos eléctrico y magnético y es una ecuación homogénea. De manera equivalente, la ecuación de onda se puede expresar en términos de las fuentes del campo: en este caso recurrimos al uso de potenciales, y es una ecuación no homogénea.

Ecuación homogénea

Supongamos que estamos en un dieléctrico homogéneo e isotrópico, eléctricamente neutro y perfecto y desprovisto de cargas libres localizadas, fuentes del campo electromagnético . Las ecuaciones que describen la propagación del campo son las ecuaciones de onda para el campo eléctrico y magnético , dos ecuaciones diferenciales parciales vectoriales: [7]

Por lo tanto, hay seis ecuaciones escalares y se obtienen a partir de las ecuaciones de Maxwell aplicando el operador de rotor . Esto implica que, dada una solución de las ecuaciones de onda, la misma solución agregada a un campo irrotacional sigue siendo una solución. Además, las soluciones no son necesariamente solenoides: esta condición adicional debe de hecho imponerse en la fase resolutiva.

La solución general de la ecuación de onda en una dimensión es una onda : [8]

que se esparce con rapidez constante:

En el vacío se convierte en la velocidad de la luz :

La solución de estas ecuaciones no es única y es necesario imponer su solenoidalidad exigiéndole que satisfaga las ecuaciones de Maxwell. En general, la solución de ecuaciones de onda es una función dirección de propagación y tiempo.

Se obtiene una representación compacta de la ecuación de onda mediante el uso del operador de d'Alembert , definido como: [9]

y de esta manera se escriben las ecuaciones de onda: [10]

Derivación

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: las ecuaciones de Maxwell .

Supongamos que estamos en un dieléctrico homogéneo e isotrópico, eléctricamente neutro y perfecto y desprovisto de cargas localizadas libres, de modo que Y . Las ecuaciones de Maxwell se convierten en este caso: [11]

Es posible proceder indiferentemente tomando la tercera o cuarta ecuación de Maxwell y aplicando el rotor. [7] Tome el tercero y luego:

aplicando el rotor de ambos miembros:

la cuarta ecuación se sustituye por el segundo miembro en lugar de :

mientras se explota la relación con el primer miembro:

y como se ha supuesto la ausencia de cargas libres, fuentes del campo, tenemos que . Por tanto obtenemos:

es decir:

Asimismo, aplicando el mismo procedimiento a la cuarta ecuación obtenemos:

que son las dos ecuaciones de onda que está buscando.

Ecuación no homogénea

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: campo electromagnético .

Ecuaciones de Maxwell para el campo generado por una distribución de carga, descrita por densidad , y corriente, expresada con la densidad , se puede escribir de acuerdo con los potenciales del campo en la siguiente forma:

Dónde está:

Si surge la condición de Lorenz :

se obtiene la ecuación no homogénea:

.

En notación relativista, la ecuación de onda se escribe en forma covariante:

Dónde está Y son respectivamente las cuatro corrientes y los cuatro potenciales :

En el medidor de Lorenz tenemos:

Dónde está:

es el cuadrigradient .

Soluciones

Onda plana linealmente polarizada.

La solución general para la ecuación de ondas electromagnéticas es una combinación lineal de ondas de la forma:

Dónde está es el vector de onda e es una función continua, que no es necesariamente periódica (generalización de la solución unidimensional anterior). Además, el vector de onda y la frecuencia angular están relacionados por la relación de dispersión :

con el número de onda e la longitud de onda .

Las soluciones de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas son las funciones de Bessel de orden entero, mientras que en coordenadas esféricas tenemos las expresiones:

que se puede escribir mediante armónicos esféricos .

Soluciones sinusoidales y expansión multipolar

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: Desarrollo multipolar .

La clase más simple de soluciones se da asumiendo que la onda es sinusoidal (monocromática):

Dónde está es la pulsación f es la frecuencia e Fórmula de Euler .

Ecuaciones de Maxwell para campos dependientes del tiempo tener la forma:

y la linealidad de las ecuaciones permite descomponer una solución genérica en una combinación de sinusoides mediante la transformada de Fourier . Las soluciones sinusoidales tienen la forma:

Por lo tanto, asumiendo que un campo electromagnético con una frecuencia fija constante tiene una dependencia armónica del tiempo, las ecuaciones de Maxwell nos permiten reducir la ecuación de onda para campos a la ecuación de Helmholtz :

De manera similar llegamos a:

Estas ecuaciones son satisfechas por cada componente de los campos siempre que:

es decir es el vector de propagación de ondas.

Un campo electromagnético genérico con frecuencia. es una suma de soluciones de estas ecuaciones, que se puede expresar utilizando la expansión en armónicos esféricos con coeficientes proporcionales a las funciones esféricas de Bessel . Para obtener soluciones con divergencia cero, el término que se desarrolla en armónicos es o , obteniendo:

Dónde está Y son los campos multipolares de la orden , Y son los campos magnéticos correspondientes, mientras que Y son los coeficientes de expansión. Los campos están dados por:

Dónde está son las funciones esféricas de Hankel , Y son las condiciones de contorno y:

son los armónicos esféricos vectoriales, que se normalizan de tal forma que:

Olas planas

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: Onda plana .

Considere el plano definido por el vector perpendicular a él:

Las soluciones planas de la ecuación de onda son:

Dónde está es la ubicación. Ambas expresiones satisfacen la ecuación de Helmholtz : [12]

Las soluciones de este tipo representan ondas planas que se propagan en la dirección del vector unitario normal al plano. Si surge la dirección del vector unitario e la dirección del campo eléctrico, entonces el campo magnético tiene dirección y tenemos eso . Además, dado que la divergencia del campo magnético es cero, no hay campos en la dirección de propagación.

Propiedades de una onda electromagnética

Las ecuaciones de Maxwell proporcionan diversa información sobre la propagación de ondas electromagnéticas. Considere un campo genérico:

Dónde está es la amplitud constante, es una función diferenciable de segundo orden, es el vector de la dirección de propagación e la posición. Se observa que es una solución genérica de la ecuación de onda, es decir:

para una onda genérica que se propaga en la dirección . Esta función también debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell: [13]

La prima equazione implica quindi che il campo elettrico è ortogonale alla direzione di propagazione, mentre la seconda definisce il campo magnetico, ortogonale sia al campo elettrico che alla direzione di propagazione.

Dalle equazioni di Maxwell si evince dunque che in un'onda elettromagnetica i campi sono ortogonali fra loro e ortogonali alla direzione di propagazione, che le loro ampiezze sono proporzionali, e che la costante di tale proporzionalità è la velocità di propagazione, che dipende dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga. Infine bisogna ricordare che un'onda elettromagnetica può essere definita tale solo se entrambi i campi elettrico e magnetico che la costituiscono rispettano sia l'equazione delle onde che le 4 equazioni di Maxwell.

Energia e vettore di Poynting

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Energia del campo elettromagnetico e Vettore di Poynting .

Ogni onda elettromagnetica è in grado di trasferire energia tra due punti dello spazio. Si consideri il caso di un' onda piana , e si prenda un volume arbitrario τ contenente un campo elettromagnetico. Al suo interno la densità di energia elettrica vale: [14]

mentre la densità di energia magnetica vale:

L'energia totale all'interno del volume sarà quindi: [15]

Derivando quest'equazione e sfruttando le relazioni tra gli operatori rotore e divergenza si ottiene:

Il termine:

è il vettore di Poynting, mentre il secondo integrale al secondo membro rappresenta il contributo dell'energia del campo elettrico per la presenza della carica contenuta nel volume . [16] Dal punto di vista fisico la precedente espressione esprime il fatto che la variazione nel tempo dell'energia contenuta nel volume delimitato dalla superficie è pari al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie, più l'energia dissipata per effetto Joule nella materia contenuta all'interno. In generale, dunque, secondo l'interpretazione classica ondulatoria l'energia posseduta del campo è riconducibile all'ampiezza (precisamente al quadrato dell'ampiezza) dell'onda che ne descrive la propagazione.

Intensità dell'onda elettromagnetica

Nel caso di un' onda piana , sapendo che i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra loro:

e che oscillano ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda, ponendo che non vi siano effetti dissipativi si ha:

dove è la velocità di propagazione dell'onda. Oppure, in termini di campo elettrico:

dove è il versore che identifica la direzione di propagazione dell'onda e:

è l' impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda.

Il modulo del vettore di Poynting è l'intensità dell'onda, cioè l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione, nell'unità di tempo:

Se l'onda piana è approssimabile con un'onda monocromatica, essa è caratterizzata da un andamento sinusoidale del tipo:

e lo stesso vale per il campo magnetico. Segue che l'intensità dell'onda è anch'essa una funzione sinusoidale negli stessi argomenti, e deve essere mediata su un periodo:

dove è il valore medio dell'intensità d'onda calcolato su un periodo.

Nel caso di un' onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. Per cui l'intensità d'onda dipende da :

dunque essa diminuisce come l'inverso del quadrato della distanza. [17]

Polarizzazione

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Polarizzazione della radiazione elettromagnetica .

Interazione tra radiazione elettromagnetica e materia

Un'onda elettromagnetica che incide o si propaga in un materiale trasferisce ad esso una certa quantità di energia, e la sua forma cambia a seconda delle caratteristiche del mezzo considerato.

Onda incidente su un materiale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Forza di Lorentz .

Si consideri un'onda elettromagnetica incidente su un certo materiale, la forza esercitata dal campo elettromagnetico per unità di volume è data dalla forza di Lorentz generalizzata: [18]

dove è il numero di cariche contenute nel volume , e la loro velocità di deriva media.

La potenza trasferita dall'onda elettromagnetica per unità di volume al materiale è dovuta solamente al campo elettrico, in quanto la forza relativa al campo magnetico non compie lavoro . Moltiplicando scalarmente la precedente espressione per la velocità, che è ortogonale al vettore , si ottiene infatti l'espressione della densità di potenza: [19]

dove è la densità di corrente , che è proporzionale al campo:

La costante di proporzionalità, detta conducibilità elettrica , è un numero complesso . Si ha quindi in generale:

Nel caso considerevole in cui l'onda ha una rappresentazione sinusoidale, anche la densità di corrente ha una dipendenza sinusoidale, per cui la densità di potenza deve essere mediata su un periodo:

dove si è sviluppato il prodotto scalare , e è l'angolo tra il campo elettrico e il vettore densità di corrente.

Quantità di moto

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Quantità di moto .

Oltre all'energia, un'onda trasferisce una certa quantità di moto , il cui modulo è pari all'energia trasferita all'unità di volume del materiale e per unità di tempo divisa per la velocità di propagazione. La quantità di moto è data dalla media temporale della forza subita dall'unità di volume definita in precedenza: [19]

diretta lungo la direzione di propagazione dell'onda. Nel vuoto si ha: [20]

dove è la velocità della luce .

Momento angolare

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Momento angolare .

Avendo definito la quantità di moto di un'onda elettromagnetica, è possibile ricavare il relativo momento angolare : [21]

Inoltre, l'onda possiede anche un momento angolare intrinseco quando essa è polarizzata circolarmente , dato da:

dove il segno dipende dal verso della rotazione e la direzione è longitudinale alla direzione di propagazione dell'onda.

Propagazione della radiazione nei materiali

Lo studio della propagazione delle radiazione in un materiale cambia a seconda ci si trovi in presenza di un conduttore o di un dielettrico.

Propagazione in un conduttore

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Onda elettromagnetica in un conduttore .

Un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore elettrico ha come effetto di accelerare gli elettroni di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio dipendente dalla forma dell'onda. L'onda non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte riflessa o dissipata per effetto Joule . [22] Lo studio del comportamento dei campi nel conduttore si basa sull'estensione delle equazioni di Maxwell al caso in cui la radiazione si propaghi in un conduttore elettrico, le quali permettono di ricavare l' equazione delle onde per il campo elettrico ed il campo magnetico all'interno di un conduttore. [23]

Si consideri un conduttore ohmico omogeneo e isotropo , l'equazione delle onde elettromagnetiche ha la forma:

dove è la conducibilità elettrica . L'equazione delle onde si può ricavare introducendo nelle equazioni di Maxwell la legge di Ohm generalizzata: [22]

dove è la densità di corrente . La precedente relazione locale vale anche nel caso non stazionario, sebbene la conducibilità elettrica dipenda in generale dal campo.

La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione è: [7]

dove è l'unità immaginaria e la funzione complessa ha soluzione del tipo: [24]

dove:

con parte reale e parte immaginaria date da:

In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo: [8]

A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per con coefficiente di attenuazione .

Propagazione in un dielettrico

Nelle misure reali dei campi elettromagnetici, tipicamente ad alta frequenza, si utilizza la relazione tra il campo magnetico ed il campo elettrico espressa attraverso l' impedenza caratteristica del mezzo nel quale si propaga la radiazione. L'impedenza d'onda è espressa attraverso i parametri dell'onda elettromagnetica e del mezzo in cui essa si propaga:

dove è la permeabilità magnetica , la permittività elettrica e la conducibilità elettrica del materiale in cui l'onda si propaga. In questa equazione, è l' unità immaginaria , e la frequenza angolare dell'onda.

Nel caso di un dielettrico , in cui la conducibilità è trascurabile, l'equazione si riduce nella seguente: [13]

Nel vuoto, e quindi approssimativamente anche in aria, tale rapporto vale circa 377 ohm:

La relazione tra i campi in tale caso diventa:

Questa formula può essere utilizzata solo in campo lontano dalla sorgente, e viene utilizzata in particolare per la valutazione dell'esposizione umana ai campi elettromagnetici.

Velocità di propagazione

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Velocità della luce .

La velocità di propagazione di un'onda elettromagnetica è indipendente dalla velocità della sorgente, dalla direzione di propagazione, e dalla velocità dell'osservatore. La velocità dipende soltanto dal mezzo in cui si propaga la radiazione, e nel vuoto è pari alla velocità della luce, la quale è l'esempio più noto di onda elettromagnetica.

La velocità della luce nel vuoto si indica in genere con la lettera ed il suo valore numerico, misurato con grande precisione, in unità del sistema internazionale è 299 792 458 m/s. È importante notare che tale valore è stato assunto come esatto: ciò vuol dire che la velocità della luce è posta per definizione uguale a , e per questo motivo essa non è affetta da alcuna incertezza, al contrario di ciò che avviene per i valori che derivano da un processo di misura. Quest'assunzione ha comportato anche la modifica della definizione del metro .

Nei mezzi materiali e nelle guide d'onda la propagazione della radiazione elettromagnetica diviene un fenomeno più complesso. Innanzitutto la sua velocità è diversa rispetto a quella nel vuoto secondo un fattore che dipende dalle proprietà del mezzo o della guida d'onda. Può dipendere inoltre dalla frequenza della radiazione, secondo una relazione di dispersione . Restano definite due velocità, dette velocità di gruppo e velocità di fase .

L'astronomo danese Ole Rømer fu il primo a determinare empiricamente la velocità della luce per mezzo dell'osservazione del satellite di Giove di nome "Io". Annunciò la sua scoperta nel 1675 [ senza fonte ] .

Romer misurò il tempo che il satellite impiegava ad attraversare il cono d'ombra provocato da Giove notando che il tempo impiegato era diverso ad ogni misurazione. Questo perché quando "Io" entrava nel cono d'ombra di Giove la distanza di questi dalla terra era una, mentre, quando "Io" usciva dal cono d'ombra, la distanza dalla terra era diversa. Così ogni volta che la misura viene ripetuta il tempo impiegato appare diverso (a seconda che la terra si stia avvicinando a Giove, tempo più breve del reale, o che si stia allontanando, tempo più lungo). Attraverso l'osservazione di questo fenomeno riuscì infine a calcolare la velocità della luce ottenendo un valore ( Errore del parser (funzione sconosciuta '\s'): {\displaystyle 2.2 \times 10^8 m\s} [ senza fonte ] ) molto simile al valore reale (299 792 458 m/s).

Oggi la velocità della luce viene misurata direttamente, calcolando il tempo che impiega un impulso luminoso emesso da un laser a percorrere un determinato spazio. Dal momento che questa procedura è molto precisa e la velocità della luce è costante nel vuoto, si è pensato di definire il metro in termini di velocità della luce (vedere in proposito metro ).

Effetti biologici delle radiazioni

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Radiazioni ionizzanti , Malattia da radiazione ed Elettrosmog .

Gli effetti della radiazione elettromagnetica sugli esseri viventi dipendono principalmente da due fattori:

  • la frequenza della radiazione, ovvero il tipo
  • la modalità di esposizione ovvero l'intensità della radiazione, la durata dell'esposizione, le parti del corpo esposte.

Per quanto riguarda la frequenza della radiazione si usa distinguere tra:

  • radiazioni ionizzanti , di frequenza sufficientemente alta da essere in grado di ionizzare gli atomi della sostanza esposta; possono quindi modificare le strutture molecolari, potendo anche produrre effetti biologici a lungo termine sui viventi interagendo con il DNA cellulare. Essendo le più energetiche sono, a grandi linee, le più pericolose (esempi: radiologia , armi nucleari ).
  • radiazioni non ionizzanti ; si designano come non ionizzanti quelle radiazioni elettromagnetiche non in grado di produrre ionizzazione nei materiali ad esse esposti. Un esempio di radiazioni non ionizzanti sono le onde radio . L'energia più bassa le pone, in generale in classi di rischio più basse delle precedenti.

Si ritiene comunemente, vedere in proposito la voce elettrosmog , che le radiazioni non ionizzanti possano avere effetti sui viventi non solo per i loro effetti termici.

Radiazione elettromagnetica naturale

Note

  1. ^ Britannica - Electromagnetic radiation , su britannica.com . URL consultato il 22-06-11 .
  2. ^ J. Clerk Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field , in Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 155, 1865, pp. 459–512, Bibcode : 1865RSPT..155..459C , DOI : 10.1098/rstl.1865.0008 .
  3. ^ Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Springer Science and Business Media, 1995, pp. 28–33, ISBN 978-0-387-91501-2 .
  4. ^ The Dual Nature of Light as Reflected in the Nobel Archives , su www.nobelprize.org .
  5. ^ Electromagnetic Spectrum facts, information, pictures | Encyclopedia.com articles about Electromagnetic Spectrum , su encyclopedia.com .
  6. ^ P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Fisica vol.II , EdiSES, 1998, ISBN 88-7959-152-5 .
  7. ^ a b c Mencuccini, Silvestrini , Pag. 461 .
  8. ^ a b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 462 .
  9. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 464 .
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 463 .
  11. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 460 .
  12. ^ Jackson , Pag. 296 .
  13. ^ a b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 468 .
  14. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 471 .
  15. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 491 .
  16. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 492 .
  17. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 494 .
  18. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 495 .
  19. ^ a b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 496 .
  20. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 497 .
  21. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 498 .
  22. ^ a b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 480 .
  23. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 481 .
  24. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 482 .

Bibliografia

Voci correlate

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