Relatividad general

Albert Einstein en 1921.

La relatividad general , desarrollada por Albert Einstein y publicada en 1916 ^[1] , es la teoría física actual de la gravitación .

Describe la interacción gravitacional ya no como una acción a distancia entre cuerpos masivos, como en la teoría newtoniana , sino como el efecto de una ley física que vincula la geometría (más específicamente la curvatura ) del espacio-tiempo con la distribución y el flujo en de masa , energía e impulso . En particular, la geometría del espacio-tiempo identifica los sistemas de referencia inerciales con las coordenadas relativas a los observadores en caída libre, que se mueven a lo largo de trayectorias geodésicas . La fuerza del peso es, por tanto, una fuerza aparente observada en las referencias no inerciales. La relatividad general es la base de los modelos cosmológicos modernos de la estructura a gran escala del universo y su evolución.

Como dijo el propio Einstein, fue el trabajo más difícil de su carrera por dificultades matemáticas, ya que se trataba de unir conceptos de geometría euclidiana en un espacio-tiempo curvo , que, según la relatividad especial, debía estar dotado de una estructura. Métrica lorentziana en lugar de euclidiana . Encontró el lenguaje y las herramientas matemáticas necesarias en las obras de geometría diferencial de Luigi Bianchi , Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita , quienes habían estudiado los conceptos de curvatura introducidos por Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann en las décadas anteriores.

Fondo

En 1905, Einstein resuelve las contradicciones entre las ecuaciones de Maxwell del ' electromagnetismo y la relatividad galileana mediante la publicación de un artículo en la relatividad especial . Sin embargo, esta nueva teoría contradice a su vez la teoría de la gravitación universal de Newton y en los años siguientes Einstein intenta modificar la teoría de la gravitación para resolver esta incompatibilidad.

Después de diez años de estudios, en 1915 propuso una ecuación , ahora conocida como ecuación de campo de Einstein , que describe la gravedad como la curvatura del espacio-tiempo y es el corazón de una teoría completamente nueva: la relatividad general. Además de resolver el conflicto con la relatividad especial, la nueva teoría gravitacional también es más precisa que la newtoniana para predecir la precesión del perihelio de Mercurio .

La ecuación de campo de Einstein es una ecuación diferencial parcial no lineal , para la cual no existe una fórmula general resolutiva. Solo un año después, en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró una solución particular a la ecuación, ahora conocida como espacio-tiempo de Schwarzschild ; esta solución se utiliza en las siguientes décadas como modelo para describir los agujeros negros . ^[2] ^[3]

En 1919 Arthur Eddington organizó una expedición con motivo de un eclipse de Sol a la isla de Príncipe que verifica una de las consecuencias de la teoría, la curvatura de los rayos de luz de una estrella en presencia del fuerte campo gravitacional del sol. En los años siguientes, Einstein se interesó por las implicaciones cosmológicas de la relatividad general; para evitar el universo dinámico (o contraerse o expandirse) previsto por su teoría y obtener un universo estático , introduce una nueva constante, llamada constante cosmológica , en la ecuación. En 1929, sin embargo, los estudios de Edwin Hubble muestran que el universo se está expandiendo y se abandona el modelo estático de Einstein.

Por lo tanto, las implicaciones de la teoría se estudian intensamente desde la década de 1960 . En 1967, John Wheeler acuñó el término agujero negro . Una parte significativa de los estudios de física teórica de las últimas décadas se ha dedicado a conciliar la relatividad general con la mecánica cuántica . En 2016 se observan por primera vez las ondas gravitacionales , una de las predicciones más significativas de la teoría.

Orígenes

Relatividad restringida y gravitación

Con la introducción de la relatividad especial en 1905, Einstein hizo compatibles el electromagnetismo y la mecánica clásica . Más precisamente, la teoría tiene éxito en el difícil objetivo de reconciliar los siguientes principios físicos:

el principio de relatividad galileano , que afirma que las leyes físicas son las mismas para todos los sistemas inerciales . Matemáticamente, esto equivale a pedir que todas las leyes de la física sean simétricas (es decir, invariantes) con respecto a las llamadas transformaciones galileanas ;
Las ecuaciones de Maxwell que gobiernan el electromagnetismo y, en particular, el hecho (consecuencia de estas ecuaciones) de que las ondas electromagnéticas siempre viajan a la misma velocidad. $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ , independientemente del sistema de referencia elegido.

El espacio-tiempo de Minkowski tiene 3 dimensiones espaciales y una dimensión temporal (desde un punto de vista matemático, es un espacio afín ). En esta representación gráfica solo se dibujan 2 dimensiones espaciales. Mientras que las transformaciones de Galileo operan por separado en el espacio y el tiempo, las transformaciones de Lorentz operan de una manera más global: por ejemplo, pueden cambiar el eje del tiempo a cualquier otro eje contenido en el cono de luz .

Los dos principios son incompatibles. Para resolver esta contradicción, Einstein mantiene el principio de relatividad , acepta como universal la constancia de la velocidad de la luz introducida por el electromagnetismo y sustituye las transformaciones galileanas por otras nuevas, introducidas poco antes por Hendrik Lorentz y por tanto denominadas transformaciones de Lorentz . Esta modificación conceptual produce efectos concretos solo para cuerpos que viajan a velocidades cercanas a $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ , pero cambia radicalmente las nociones de espacio y tiempo , que, mientras que en la mecánica galileana son distintas, en la teoría de Einstein se vuelven una en el espacio-tiempo (más tarde el espacio-tiempo de Minkowski ).

La inconsistencia entre las dos teorías se resuelve felizmente, pero la solución propuesta crea una nueva contradicción, esta vez con una teoría física de dos siglos de antigüedad: la teoría de la gravitación universal . De hecho, la teoría de Isaac Newton es compatible con el principio de relatividad de Galileo, pero no con el nuevo principio de relatividad de Einstein. Las principales inconsistencias son las siguientes:

según la relatividad especial, ninguna información puede viajar más rápido que la luz. Por otro lado, según la teoría de Newton, la fuerza de gravedad tiene un efecto instantáneo: si el Sol se moviera en una dirección, la fuerza que ejerce sobre la Tierra cambiaría inmediatamente, sin demora. Por tanto, la información "el Sol se mueve" se transmite instantáneamente y, por tanto, a velocidades superiores a $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$
la ley de la gravitación universal no es invariante con respecto a las transformaciones de Lorentz: la fuerza de la gravedad, por tanto, no respeta el (nuevo) principio de relatividad.

Principio de equivalencia

En 1908 Einstein enunció un principio de equivalencia que posteriormente daría un fuerte impulso al desarrollo de la teoría. ^[4] Según lo confirmado por la experiencia de Eötvös y experimentos posteriores, la masa inercial $m_{i}$ ${\ Displaystyle m_ {i}}$ $me$ y la masa gravitacional $m_{g}$ ${\ Displaystyle m_ {g}}$ $m_g$ de un cuerpo resultan tener el mismo valor, es decir $m_{i}=m_{g}$ ${\ Displaystyle m_ {i} = m_ {g}}$ $m_i = m_g$ . Esta igualdad es un hecho experimental que no deriva de ningún principio de la física clásica ; los roles de estas dos cantidades son de hecho bastante diferentes: la masa inercial mide cuánto se opone el cuerpo a la aplicación de una fuerza, como lo establece el segundo principio de la dinámica, es decir, por la fórmula

F=m_{i}a.

{\ Displaystyle F = m_ {i} a.}

F = m_ia.

En cambio, la masa gravitacional mide la capacidad de un cuerpo para atraer otra masa $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ , de acuerdo con la ley de la gravitación universal

F=G{\frac {m_{g}M}{r^{2}}}.

{\ Displaystyle F = G {\ frac {m_ {g} M} {r ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle F = G {\ frac {m_ {g} M} {r ^ {2}}}.}

La masa gravitacional tiene el mismo papel en la ley de la gravitación universal que la carga eléctrica en la ley de Coulomb .

El hecho de que estas dos cantidades (masa inercial y masa gravitacional) coincidan experimentalmente implica el hecho, ya observado por Galileo hacia 1590 , de que la trayectoria de un cuerpo en caída libre no depende de las propiedades del cuerpo. Al igualar las dos fórmulas, de hecho se obtiene, en particular, que su aceleración está dada por

a={\frac {F}{m_{i}}}=G{\frac {m_{g}M}{r^{2}m_{i}}}={\frac {GM}{r^{2}}}.

{\ Displaystyle a = {\ frac {F} {m_ {i}}} = G {\ frac {m_ {g} M} {r ^ {2} m_ {i}}} = {\ frac {GM} { r ^ {2}}}.}

a = \ frac F {m_i} = G \ frac {m_g M} {r ^ 2 m_i} = \ frac {GM} {r ^ 2}.

Valores $G,M,r^{2}$ ${\ Displaystyle G, M, r ^ {2}}$ $G, M, r ^ 2$ de hecho, no dependen de las propiedades del cuerpo que cae.

Un observador encerrado en una habitación percibe (y mide) una fuerza descendente, pero no puede decir si se debe a la fuerza de gravedad ejercida por un planeta (la Tierra) o al hecho de que se mueve en un movimiento acelerado hacia arriba en ausencia de gravedad. .

Einstein estudia las consecuencias de la relación $m_{i}=m_{g}$ ${\ Displaystyle m_ {i} = m_ {g}}$ $m_i = m_g$ formulando el siguiente experimento mental . Considere un observador ubicado dentro de una habitación cerrada. Si la habitación descansa sobre la superficie de la tierra, el observador percibe una fuerza descendente debida a la gravedad: como se muestra en la figura, al dejar caer una bola se podrá medir su magnitud. Si la habitación está en cambio en el espacio, lejos de los campos gravitacionales, contenida en un cohete que acelera hacia arriba, el observador también percibe una fuerza hacia abajo en este caso: esta fuerza, debido a la inercia de su cuerpo, es la misma fuerza que normalmente percibimos a la salida y llegada en un ascensor. Igualdad $m_{i}=m_{g}$ ${\ Displaystyle m_ {i} = m_ {g}}$ $m_i = m_g$ tiene como consecuencia el siguiente hecho: el observador no puede comprender en modo alguno si la aceleración que siente se debe a un campo gravitacional oa una aceleración.

Del mismo modo, si la habitación está en caída libre hacia (por ejemplo) la Tierra, el observador en su interior no percibe ninguna fuerza de gravedad: si deja caer una moneda, observa que no cae al suelo sino que permanece suspendida en el aire. . El observador no tiene ninguna herramienta para comprender si se encuentra en un área del universo sin campos gravitacionales, o si en cambio está cayendo hacia un planeta.

La curvatura del espacio-tiempo

El mismo tema en detalle: Matemáticas de la relatividad general .

Una ilustración popular de la curvatura del espacio-tiempo debido a la presencia de masa, representada en este caso por la Tierra. El dibujo es evocador, pero no describe completamente lo que teorizó Einstein: el planeta curva el espacio "desde adentro" y no porque descanse sobre él.

Con la relatividad especial, Einstein reemplazó el espacio y el tiempo newtonianos con el espacio-tiempo de Minkowski . Las dimensiones son siempre cuatro, pero la novedad radica en la "mezcla" entre las tres dimensiones espacial y temporal, cuya "separación" varía según el sistema en el que se encuentre el observador. Desde un punto de vista matemático, el espacio-tiempo de Minkowski es $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb R ^ 4$ dotado de un producto escalar de Lorentz , es decir, con la firma (3,1). Dado que el espacio-tiempo no tiene un origen preferido, hablamos más precisamente de espacio afín .

En la relatividad general, el espacio-tiempo de Minkowski es solo un modelo que se aproxima localmente al espacio-tiempo, que en realidad está "distorsionado" por la masa. Todas estas nociones utilizan conceptos matemáticos rigurosos y no triviales, desarrollados a principios del siglo XX.

Un toro es un espacio "curvo" de dimensión dos.

La noción matemática que describe un espacio-tiempo de cuatro dimensiones modelado localmente en $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb R ^ 4$ es el de la variedad . Las variedades son objetos de tamaño arbitrario que generalmente se estudian en topología . Según la relatividad general, el espacio-tiempo es una variedad Lorentziana de dimensión 4. El término "Lorentziano" indica que el espacio tangente en cualquier punto tiene un producto escalar de firma (3,1). De manera informal, esto indica que el espacio-tiempo está modelado localmente en el espacio-tiempo de Minkowski. Este producto escalar de la firma (3,1) es más precisamente un tensor , llamado tensor métrico .

Como en las variedades de Riemann , el tensor métrico gobierna toda la geometría del espacio: define una "distancia" entre puntos y por lo tanto una noción de geodésica , entendida como el "camino más corto" entre dos puntos (estas nociones son un poco más sutiles en el contexto lorentziano porque la distancia puede ser "negativa"). Sin embargo, la geometría local cerca de un punto en el espacio-tiempo no es independiente del punto, como ocurre en el espacio newtoniano y de Minkowski. La geometría local aquí está determinada por la cantidad de masa (y energía) presente en el punto: la masa genera curvatura, que se mide con algunas herramientas matemáticas refinadas como el tensor de Riemann , el tensor de Ricci y la curvatura seccional .

Todas estas nociones se definen de manera formal: el espacio-tiempo y su curvatura se describen mediante ecuaciones. Desde un punto de vista visual, nuestras posibilidades de imaginación están limitadas por el espacio tridimensional en el que vivimos: el único modelo que podemos representar correctamente es el de un universo con una dimensión espacial (en lugar de tres) y una temporal. En este caso, el universo tiene dimensión 1 + 1 = 2 y se puede representar como una superficie en el espacio. Un punto material en movimiento (¡o estacionario!) Está representado por una línea (llamada línea del mundo ), que proporciona su posición para cada instante. La curvatura de la superficie afecta la trayectoria del punto en movimiento de manera similar a lo que sucede realmente en el espacio-tiempo. Si la superficie no contiene masa, entonces es plana y los objetos se mueven a lo largo de líneas rectas. Si la superficie es curva, la geometría cambia y las líneas del universo pueden comportarse de manera muy diferente, como lo hacen en la geometría no euclidiana .

Entre las complicaciones conceptuales de la teoría, cabe destacar que la curvatura del espacio-tiempo no es sólo espacial: las cuatro dimensiones están "plegadas", incluida la temporal (no podría ser de otra manera, dado que el espacio y el tiempo son " mezclado "ya en la versión sin masa de Minkowski).

Geodésicas

Cada partícula de materia se mueve a una velocidad constante a lo largo de una curva, llamada geodésica , que en cualquier momento (es decir, localmente) puede considerarse recta. Su velocidad viene dada por la relación entre la distancia espacial recorrida y el tiempo adecuado , donde el tiempo adecuado es el medido en la referencia de la partícula, mientras que la distancia espacial depende de la métrica que define la estructura del espacio-tiempo.

La curvatura determina la forma real de las geodésicas y, por lo tanto, el camino que sigue un cuerpo a lo largo del tiempo. En otras palabras, un cuerpo libre siempre se mueve en el espacio-tiempo a lo largo de una geodésica, de la misma manera que en la mecánica clásica un cuerpo no sometido a fuerzas se mueve en línea recta. Si la estructura del espacio-tiempo en ese punto es plana, la geodésica será solo una línea recta, de lo contrario tomará diferentes formas, pero el cuerpo la seguirá de todos modos. De esta forma, la gravedad se incorpora a la estructura del espacio-tiempo.

Una vez más conviene señalar que la curvatura de la que hablamos concierne no solo a las tres dimensiones espaciales, sino también a la temporal; Las estructuras geométricas con estas propiedades, por lo tanto, no pueden visualizarse y deben describirse y estudiarse utilizando el lenguaje y los métodos de la geometría diferencial ^[5].

Los impulsos electromagnéticos que se mueven en el espacio-tiempo curvo debido a la presencia de un objeto fuertemente masivo aparecen como "desviados". En la imagen una representación gráfica de una señal generada por una sonda, que se propaga en un espacio curvo, aparece desviada por la gravedad del Sol al llegar a la Tierra.

En presencia de sistemas acelerados (o, lo que es lo mismo, sistemas bajo la influencia de la gravedad), solo las zonas de referencia locales y por períodos cortos pueden definirse como inerciales. Esto corresponde a aproximar con una superficie plana lo que sería una superficie curva a gran escala. En tales situaciones, las leyes de Newton todavía se aplican.

Ecuación de campo

El mismo tema en detalle: la ecuación de campo de Einstein .

“El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo doblarse ^[6] ".

( John Archibald Wheeler )

Matemáticamente, la relatividad general describe el espacio-tiempo como un espacio pseudo-riemanniano ^{[7] de 4} dimensiones; la ecuación de campo vincula la curvatura a un punto $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ del espacio-tiempo al tensor de energía del pulso que describe la densidad y el flujo de materia y energía en $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . La forma explícita de la ecuación de campo es:

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}.}

R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}.

Todos los miembros de la ecuación son tensores simétricos de dimensión 4x4, por lo que contienen 10 componentes independientes que varían con el punto $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . Brevemente, el lado izquierdo de la igualdad mide la curvatura y la geometría del espacio-tiempo en $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , mientras que el de la derecha mide la densidad y el flujo de materia y energía en $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . La ecuación luego describe cómo la materia "dobla" el espacio-tiempo y determina su geometría.

Más precisamente, las variables presentes en la ecuación son las siguientes:

$R_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {\ mu \ nu}$ es el tensor de curvatura de Ricci ,
$R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ es la curvatura escalar ,
$g_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ es el tensor métrico ,
$\Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ es la constante cosmológica ,
$T_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ es el tensor de energía de impulso
$C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ es la velocidad de la luz en el vacío ,
$GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es la constante gravitacional .

El tensor métrico $g_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ describe completamente la métrica del espacio-tiempo: la ecuación de campo, por lo tanto, debe interpretarse como una ecuación diferencial con incógnitas $g_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ . La curvatura escalar es la traza del tensor de curvatura de Ricci igual a $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}}$ $R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}$ . El tensor de Ricci y la curvatura escalar miden la curvatura del espacio-tiempo y dependen del tensor métrico $g^{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ $g ^ {\ mu \ nu}$ y su primera y segunda derivadas parciales : es por tanto una ecuación de segundo orden .

El tensor métrico tiene 10 componentes independientes, pero los grados de libertad de este sistema son menores en número. De hecho, debemos tener en cuenta las identidades de Bianchi y la libertad de gauge de la teoría: es posible realizar cualquier transformación sobre las cuatro coordenadas, lo que da lugar a seis componentes efectivamente independientes del tensor métrico. Las cuatro identidades de Bianchi , que implican la conservación del tensor de Einstein , reducen aún más las componentes libres del campo gravitacional a dos, el mismo número de grados de libertad que el campo electromagnético. ^[8]

La ecuación de campo derivada de Einstein es el único posible segundo orden en las derivadas y que respeta la covarianza general; Los acoplamientos no mínimos a la materia pueden incluirse en la definición del tensor de energía-momento.

Esta ecuación contiene un término numérico Λ, llamado constante cosmológica , que Einstein introdujo con un valor negativo para permitir un universo estático. Durante la siguiente década, las observaciones del Hubble mostraron que el universo se está expandiendo y el término cosmológico se eliminó de las ecuaciones (el propio Einstein consideró que su introducción era el error más grave que cometió en la vida). Sin embargo, la idea de Einstein de introducir la constante cosmológica fue reconsiderada en la segunda mitad del siglo XX, ya no para garantizar un universo estático sino para explicar la expansión acelerada del universo. En 1998 , la observación del corrimiento al rojo de supernovas distantes obligó a los astrónomos a emplear una constante cosmológica positiva para explicar la aceleración de la expansión del Universo .

Soluciones

Las soluciones de la ecuación de campo dependen del sistema que se esté considerando. También pueden destacarse en soluciones locales o globales .

Las soluciones locales, en las que, por ejemplo, se considera una masa colocada en el origen del sistema de referencia, presuponen una métrica que describe un espacio-tiempo plano para grandes distancias desde el origen. Estas soluciones se dividen según los valores asumidos por los parámetros m ( masa ), a ( momento angular ), Q ( carga eléctrica ), todas las cantidades expresadas con la convención simplificadora $G=c=1$ ${\ Displaystyle G = c = 1}$ $G = c = 1$ . Obviamente, en el caso de que Q no sea cero, además de la ecuación de campo de Einstein, las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético deberán resolverse simultáneamente. Además, las soluciones en vacío se distinguen cuando $T_{ik}$ ${\ Displaystyle T_ {ik}}$ $T_ {ik}$ es nulo, o en materia cuando $T_{ik}$ ${\ Displaystyle T_ {ik}}$ $T_ {ik}$ no es cero (por materia nos referimos tanto a la masa como a la energía).

Las soluciones más conocidas utilizadas en cosmología son

la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Luego están los que se utilizan para el estudio teórico de los agujeros negros , derivados colocando $\Lambda =0$ ${\ Displaystyle \ Lambda = 0}$ $\ Lambda = 0$ Y $T_{ik}=0$ ${\ Displaystyle T_ {ik} = 0}$ $T_ {ik} = 0$ :

m ≠ 0, a = 0, Q = 0 (cuerpo con masa, no giratorio, descargado): métrica de Schwarzschild .
m ≠ 0, a ≠ 0, Q = 0 (cuerpo con masa, girando, descargando): métrica de Kerr .
m ≠ 0, a = 0, Q ≠ 0 (cuerpo con masa, no giratorio, cargado): métrica Reissner-Nordström .
m ≠ 0, a ≠ 0, Q ≠ 0 (cuerpo con masa, giratorio, cargado): métrica de Kerr-Newmann .

En el prospecto anterior puede ver cómo, una vez que la métrica (es decir, la $ds^{2}=g_{ik}dx^{i}\,dx^{k}$ ${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {ik} dx ^ {i} \, dx ^ {k}}$ $ds ^ 2 = g_ {ik} dx ^ i \, dx ^ k$ ) de Kerr-Newmann, todos los demás se pueden obtener mediante la simplificación, estableciendo los distintos parámetros a cero de vez en cuando.

Métrica de Kerr-Newman

El mismo tema en detalle: agujero negro de Kerr-Newman .

La métrica de Kerr-Newman es por lo tanto con m ≠ 0, a ≠ 0 y Q ≠ 0, y por lo tanto es simétrica axialmente:

ds^{2}=-\Sigma \Delta ^{-1}dr^{2}-\Sigma d\vartheta ^{2}-\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta [adt-(r^{2}+a^{2})d\varphi ]^{2}+\Sigma ^{-1}\Delta [dt-a\,\operatorname {sen} ^{2}\vartheta d\varphi ]^{2}

{\ Displaystyle ds ^ {2} = - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ {2} - \ Sigma d \ vartheta ^ {2} - \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2 } \ vartheta [adt- (r ^ {2} + a ^ {2}) d \ varphi] ^ {2} + \ Sigma ^ {- 1} \ Delta [dt-a \, \ operatorname {sen} ^ { 2} \ vartheta d \ varphi] ^ {2}}

{\ Displaystyle ds ^ {2} = - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ {2} - \ Sigma d \ vartheta ^ {2} - \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2 } \ vartheta [adt- (r ^ {2} + a ^ {2}) d \ varphi] ^ {2} + \ Sigma ^ {- 1} \ Delta [dt-a \, \ operatorname {sen} ^ { 2} \ vartheta d \ varphi] ^ {2}}

Dónde está

\Delta =r^{2}-2Mr+Q^{2}+a^{2}

{\ Displaystyle \ Delta = r ^ {2} -2Mr + Q ^ {2} + a ^ {2}}

\ Delta = r ^ 2-2Mr + Q ^ 2 + a ^ 2

\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta

{\ Displaystyle \ Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ vartheta}

\ Sigma = r ^ 2 + a ^ 2 \ cos ^ 2 \ vartheta

recopilar los términos con diferenciales similares

ds^{2}\

{\ displaystyle ds ^ {2} \}

ds ^ 2 \

+\Sigma ^{-1}[\Delta -a^{2}\,\operatorname {sen} ^{2}\vartheta ]dt^{2}\

{\ Displaystyle + \ Sigma ^ {- 1} [\ Delta -a ^ {2} \, \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta] dt ^ {2} \}

{\ Displaystyle + \ Sigma ^ {- 1} [\ Delta -a ^ {2} \, \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta] dt ^ {2} \}

-\Sigma \Delta ^{-1}dr^{2}\

{\ Displaystyle - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ {2} \}

- \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ 2 \

-\Sigma d\vartheta ^{2}\

{\ Displaystyle - \ Sigma d \ vartheta ^ {2} \}

- \ Sigma d \ vartheta ^ 2 \

-\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta [(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta \operatorname {sen} ^{2}\theta ]d\varphi ^{2}\

{\ Displaystyle - \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} -a ^ {2} \ Delta \ operatorname {sen} ^ {2} \ theta] d \ varphi ^ {2} \}

{\ Displaystyle - \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} -a ^ {2} \ Delta \ operatorname {sen} ^ {2} \ theta] d \ varphi ^ {2} \}

+2a\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta (2Mr-Q^{2})dtd\varphi \

{\ Displaystyle + 2a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) dtd \ varphi \}

{\ Displaystyle + 2a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) dtd \ varphi \}

podemos escribir la matriz que representa el tensor métrico

g_{ik}=\left({\begin{matrix}+\Sigma ^{-1}[\Delta -a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta ]&0&0&+a\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta (2Mr-Q^{2})\\0&-\Sigma \Delta ^{-1}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\+a\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta (2Mr-Q^{2})&0&0&-\Sigma ^{-1}\operatorname {sen} ^{2}\vartheta [(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta \operatorname {sen} ^{2}\theta ]\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle g_ {ik} = \ left ({\ begin {matrix} + \ Sigma ^ {- 1} [\ Delta -a ^ {2} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta] & 0 & 0 & + a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) \\ 0 & - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ Sigma & 0 \\ + a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) & 0 & 0 & - \ Sigma ^ { - 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} -a ^ {2} \ Delta \ operatorname {sen} ^ {2} \ theta] \ end {matriz}} \ right)}

{\ displaystyle g_ {ik} = \ left ({\ begin {matrix} + \ Sigma ^ {- 1} [\ Delta -a ^ {2} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta] & 0 & 0 & + a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) \\ 0 & - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ Sigma & 0 \\ + a \ Sigma ^ {- 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta (2Mr-Q ^ {2}) & 0 & 0 & - \ Sigma ^ { - 1} \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} -a ^ {2} \ Delta \ operatorname {sen} ^ {2} \ theta] \ end {matriz}} \ right)}

Métrica de Kerr

Al cancelar Q en la métrica de Kerr-Newmann obtenemos la métrica de Kerr, solución de la ecuación de campo (sin campo electromagnético), también con simetría axial:

ds^{2}=dt^{2}-\Sigma \Delta ^{-1}dr^{2}-\Sigma d\vartheta ^{2}-(r^{2}+a^{2})\operatorname {sen} ^{2}\vartheta d\varphi ^{2}-2\Sigma ^{-1}Mr(dt-a\operatorname {sen} ^{2}\vartheta d\varphi )^{2}

{\ Displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ {2} - \ Sigma d \ vartheta ^ {2} - (r ^ {2} + a ^ { 2}) \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta d \ varphi ^ {2} -2 \ Sigma ^ {- 1} Mr (dt-a \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta d \ varphi) ^ {2}}

{\ Displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} - \ Sigma \ Delta ^ {- 1} dr ^ {2} - \ Sigma d \ vartheta ^ {2} - (r ^ {2} + a ^ { 2}) \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta d \ varphi ^ {2} -2 \ Sigma ^ {- 1} Mr (dt-a \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta d \ varphi) ^ {2}}

donde ahora

\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\

{\ Displaystyle \ Delta = r ^ {2} -2Mr + a ^ {2} \}

\ Delta = r ^ 2-2Mr + a ^ 2 \

\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta

{\ Displaystyle \ Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ vartheta}

\ Sigma = r ^ 2 + a ^ 2 \ cos ^ 2 \ vartheta

Al operar el mismo tipo de colección que para la métrica de Kerr-Newmann, la representación matricial del tensor métrico se puede escribir

g_{ik}={\begin{pmatrix}+1-2\Sigma ^{-1}Mr&0&0&+2a\Sigma ^{-1}Mr\operatorname {sen} ^{2}\vartheta \\0&-\Sigma \Gamma ^{-1}&0&0\\0&0&-\Sigma ^{2}&0\\+2a\Sigma ^{-1}Mr\,\operatorname {sen} ^{2}\vartheta &0&0&-\operatorname {sen} ^{2}\vartheta [(r^{2}+a^{2})+2\Sigma ^{-1}Mra]\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {pmatrix} + 1-2 \ Sigma ^ {- 1} Mr & 0 & 0 & + 2a \ Sigma ^ {- 1} Mr \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta \\ 0 & - \ Sigma \ Gamma ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ Sigma ^ {2} & 0 \\ + 2a \ Sigma ^ {- 1} Señor \, \ nombre de operador {sen} ^ {2} \ vartheta & 0 & 0 & - \ nombre de operador {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) + 2 \ Sigma ^ {- 1} Mra] \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {pmatrix} + 1-2 \ Sigma ^ {- 1} Mr & 0 & 0 & + 2a \ Sigma ^ {- 1} Mr \ operatorname {sen} ^ {2} \ vartheta \\ 0 & - \ Sigma \ Gamma ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \ Sigma ^ {2} & 0 \\ + 2a \ Sigma ^ {- 1} Señor \, \ nombre de operador {sen} ^ {2} \ vartheta & 0 & 0 & - \ nombre de operador {sen} ^ {2} \ vartheta [(r ^ {2} + a ^ {2}) + 2 \ Sigma ^ {- 1} Mra] \\\ end {pmatrix}}}

Métrica de Reissner-Nordström

Lo stesso argomento in dettaglio: Metrica di Reissner-Nordström .

Se nella metrica di Kerr-Newmann, invece della carica elettrica Q , si annullasse il momento angolare a , si otterrebbe la metrica di Reissner-Nordström, a simmetria sferica:

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

dove

\Delta =r^{2}-2Mr+Q^{2}\

\Delta =r^{2}-2Mr+Q^{2}\

\Delta=r^2-2Mr+Q^2 \

\Sigma =r^{2}\

\Sigma =r^{2}\

\Sigma=r^2 \

e la rappresentazione matriciale è

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

Metrica di Schwarzschild

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio-tempo di Schwarzschild .

Se infine si pongono a=0 e Q=0 si ottiene la metrica di Schwarzschild, soluzione delle equazioni di Einstein (senza campo elettro-magnetico) in simmetria sferica. Si avrà quindi

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\vartheta ^{2}-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}

sapendo che ora

\Delta =r^{2}-2Mr\

\Delta =r^{2}-2Mr\

\Delta=r^2-2Mr \

\Sigma =r^{2}\

\Sigma =r^{2}\

\Sigma=r^2 \

e in forma matriciale si avrà

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

g_{ik}={\begin{pmatrix}+\Delta \Sigma ^{-1}&0&0&0\\0&-\Delta ^{-1}\Sigma &0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \end{pmatrix}}

La metrica è singolare nei punti ove è singolare la matrice $g_{ik}$ $g_{ik}$ $g_{ik}$ (in tal caso si estende il concetto di singolarità per comprendere anche $det(g_{ik})=\infty$ $det(g_{ik})=\infty$ $det(g_{ik}) =\infty$ ). Per la metrica di Schwarzschild ciò avviene quando

1-{\frac {2M}{r}}=0\iff r=2M

1-{\frac {2M}{r}}=0\iff r=2M

1-\frac{2M}{r}=0 \iff r=2M

r=0

{\displaystyle r=0}

r=0

Nel primo caso si ha una singolarità eliminabile cambiando coordinate (passando ad esempio alle coordinate di Kruskal ). Il valore $R=2M$ ${\displaystyle R=2M}$ $R=2M$ è noto come raggio di Schwarzschild (ovvero la distanza dal centro del buco nero a cui si forma l' orizzonte degli eventi ). Il fatto che tale singolarità sia dovuta solo a una cattiva scelta delle coordinate è verificato facilmente sapendo ad esempio che lo scalare di curvatura non è ivi divergente, o notando che le geodetiche possono essere prolungate attraverso l'orizzonte degli eventi. Nel secondo caso, viceversa, si tratta di una singolarità non eliminabile e corrisponde a una curvatura infinita dello spazio-tempo (lo scalare di curvatura è divergente), spesso raffigurata come un imbuto senza fine, una smagliatura nel tessuto spaziotemporale.

Conferme sperimentali

Lo stesso argomento in dettaglio: Prove della relatività generale .

Negativo della lastra di Arthur Eddington raffigurante l'eclissi solare del 1919, utilizzata per mettere alla prova la previsione di deviazione gravitazionale della luce.

Poiché le equazioni della relatività generale hanno come variabile di campo la metrica dello spazio-tempo, non è facile ricavarne effetti osservabili. In condizioni di campo gravitazionale debole, le previsioni della teoria in termini di "forza di gravità" sono pressoché indistinguibili da quelle della gravitazione newtoniana; d'altra parte, non è possibile creare in laboratorio campi gravitazionali intensi, quindi le verifiche della teoria possono essere osservative (attraverso misure astronomiche), ma non sperimentali. Inoltre la misura diretta della curvatura dello spazio-tempo (intensità del campo gravitazionale) non è possibile, e gli effetti della relatività generale sulle misure di distanze spaziali e intervalli temporali da parte di un osservatore sono tuttora oggetto di attiva ricerca teorica ^[9] . A tutt'oggi vengono proposti esperimenti per la conferma o meno di tale teoria, che al momento attuale ha sempre resistito agli attacchi. Sono indicati qui sotto solo i più importanti.

La prima conferma (ancorché incompleta, come è emerso in seguito) si ebbe nel 1919 , quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclissi di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà sarebbero dovute essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato. La prima vera conferma fu la spiegazione del moto di precessione del perielio di Mercurio , la cui entità era inspiegabile con la gravitazione newtoniana (anche tenendo conto dell'effetto perturbativo dovuto all'attrazione degli altri pianeti), e invece coincideva con quanto previsto dalla relatività generale.

Un'altra conferma più recente, ormai completamente accettata dalla comunità scientifica, è l'effetto lente gravitazionale di cui le osservazioni di Eddington sono un caso particolare. La luce emessa da una sorgente lontana, transitando nelle vicinanze di un oggetto molto massiccio può venire deviata, con un effetto complessivo che può sdoppiare (o meglio trasformare in un anello), l'immagine della sorgente.

Illustrazione dell'effetto lente gravitazionale : la sorgente "vera" è nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce è rappresentato dalle frecce bianche, mentre quelle arancioni permettono di ricostruire la posizione apparente della sorgente ovvero la posizione delle sue immagini.

È relativamente recente la scoperta indiretta dell'esistenza dei buchi neri , oggetti pesanti e compatti, dalla cui superficie non può sfuggire (quasi) nulla, essendo la velocità di fuga superiore a quella della luce. Quasi nulla in quanto il fisico Stephen Hawking ha dimostrato come i buchi neri evaporino perdendo particelle, per lo più fotoni, ( radiazione di Hawking ) tanto più velocemente quanto più piccola è la massa del buco nero. Questo risultato deriva direttamente dalla conservazione delsecondo principio della termodinamica , ed è stata la prima applicazione congiunta di relatività generale e meccanica quantistica . Questo risultato contraddice, però, la meccanica quantistica stessa, in quanto la radiazione di Hawking contiene molta meno informazione della materia entrante nel buco nero. Ciò porta a una perdita di informazione, contravvenendo a uno dei principi fondamentali della quantistica. Questa contraddizione ha fatto sì che taluni scienziati contemporanei abbiano negato l'esistenza dei buchi neri a favore di nuove teorie.

Sono state rilevate nel 2016 alcune onde gravitazionali , originate dalla collisione di due buchi neri molto massivi. Queste onde erano state previste dalla teoria relativistica ma solo 100 anni dopo ne è stata confermata l'esistenza.

Un altro risultato che confermerebbe la teoria è il cosiddetto frame dragging , ossia il trascinamento del sistema di riferimento da parte di masse in rotazione: oltre alla sonda Gravity Probe B della NASA , un articolo di un ricercatore dell' Università di Bari ha utilizzato i dati dell'orbita del satellite Mars Global Surveyor (MGS), confermando entro l'errore di meno dell'1% le previsioni della teoria (Iorio 2007).

Inoltre sarebbe una conferma alla relatività einsteniana la giusta correzione della posizione calcolata dai GPS. Infatti da una parte c'è l'effetto di ritardo dovuto all'elevata velocità dei satelliti circa 14000 km/h (per la Relatività Ristretta, ritardo di circa 6 microsecondi al giorno). Inoltre sono anche soggetti all'azione della relatività generale, ovvero alla gravità e questo comporta una differenza nei tempi di comunicazione di circa 45 microsecondo di anticipo. Totale correzione: anticipo di 39 microsecondi al giorno (45 di anticipo meno 6 di ritardo).

Campo di validità della relatività

Come risulta dagli articoli di Einstein, le leggi della relatività descrivono trasformazioni reversibili e vengono utilizzate per onde e particelle che si muovono nello spazio vuoto. Contemporaneamente, Einstein ha pubblicato anche le versioni corrette di idrodinamica , meccanica e magnetismo .

La relatività generale è stata formulata solo come teoria classica, ossia non quantistica. Trasformarla in una teoria quantistica di campo con le tecniche usuali della seconda quantizzazione si è rivelato impossibile (la teoria non è rinormalizzabile ). D'altra parte, non si è neppure finora ottenuta una formulazione completamente consistente della meccanica quantistica , né della teoria quantistica dei campi, su spazi-tempi curvi.

Questo determina problemi teorici non facilmente risolubili ogni qualvolta si cerca di descrivere l'interazione fra il campo gravitazionale e le particelle subatomiche . Carlo Rovelli ha sostenuto al riguardo che la relatività generale e la meccanica quantistica «non possono essere entrambe giuste, almeno nella loro forma attuale, perché si contraddicono l'un l'altra»: ^[10] per la prima infatti «il mondo è uno spazio curvo dove tutto è continuo», per la seconda invece «il mondo è uno spazio piatto dove saltano quanti di energia». ^[11]

Difficoltà analoghe emergono in cosmologia , allorché si deve ricostruire il comportamento di spazio, tempo e materia in condizioni di grande densità di massa-energia, come nell' universo primordiale o in presenza di singolarità dello spazio-tempo (buchi neri). La costruzione di una teoria quantistica della gravitazione , eventualmente come uno degli aspetti di una teoria unificata più generale, è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo .

Note

^ ( DE ) Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (Articolo originale della teoria della relatività generale) ( PDF ), su myweb.rz.uni-augsburg.de , 1916. URL consultato il 19 marzo 2018 .
^ Karl Schwarzschild , Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie , in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss. , 1916a, pp. 189–196.
^ Karl Schwarzschild , Über das Gravitationsfeld eines Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie , in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss. , 1916b, pp. 424–434.
^ Albert Einstein , Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen ( PDF ), in Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik , vol. 4, 1907, p. 411. URL consultato il 5 maggio 2008 .
^ Solo a fini divulgativi si può cercare di esemplificare il concetto di curvatura di uno spazio riemanniano utilizzando superfici curve bidimensionali (come nella nota immagine del telo elastico incurvato dal peso di un corpo massivo): queste tuttavia non esibiscono tutti i fenomeni che possono presentarsi in dimensione tre e quattro, tanto più che noi riusciamo a visualizzare superfici immerse in uno spazio tridimensionale euclideo, non pseudoeuclideo.
^ Jim Baggott, Origini. La storia scientifica della creazione, Adelphi, 2015 (Capitolo 1: "In principio", sezione: "Massa ed energia").
^ Si definisce spazio riemanniano una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico definito positivo (euclideo), e spazio pseudo-riemanniano una varietà differenziabile dotata di tensore metrico di segnatura indefinita, detto anche metrica pseudo-euclidea
^ Il gravitone , una ipotetica particella mediatrice della interazione gravitazione, avrebbe perciò elicità due.
^ L. Lusanna, The Chrono-geometrical Structure of Special and General Relativity , Lectures given at the 42nd Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Ladek, Poland, 6-11 February 2006 [1]
^ Carlo Rovelli, Sette brevi lezioni di fisica , Milano, Adelphi, 2014, p. 47.
^ C. Rovelli, ibidem , p. 51.

Bibliografia

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( EN ) Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An introduction to General Relativity. Spacetime and Geometry , Addison-Wesley, 2004. ISBN 0-8053-8732-3
Rodolfo Damiani, La Relatività, lo spirituale nella scienza , Barzago, Marna, 2005. ISBN 88-7203-295-4
Arthur Stanley Eddington , Spazio, tempo e gravitazione: la teoria della relatività generale , Torino, Bollati Boringhieri, 2003. ISBN 88-339-0287-0
Albert Einstein, Come io vedo il mondo. La teoria della relatività , Collana Grandi Tascabili Newton Compton, Bologna, Newton Compton Editore, 1975
Wolfgang Pauli , Teoria della relatività , Torino, Bollati Boringhieri, 2008. ISBN 978-88-339-1864-8
Tullio Regge , Spazio, tempo e universo: passato, presente e futuro della teoria della relatività , Torino, Utet, 2005. ISBN 88-7750-945-7
Bertrand Russell , L'ABC della relatività , prefazione di Piergiorgio Odifreddi , Milano, Tea, 2008. ISBN 978-88-502-0648-3
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Approfondimenti

( DE ) Max Born , Die Relativitätstheorie Einsteins und ihre physikalischen Grundlagen , Berlin, Springer, 1920.
- ( EN ) Max Born, Einstein's theory of relativity [ Die Relativitätstheorie Einsteins und ihre physikalischen Grundlagen ] , New York, Dutton, 1922.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Un'altra conferma per la relatività generale , su lescienze.espresso.repubblica.it .
( EN ) Soluzione per le equazioni di campo di Felber , su physorg.com .
( EN ) Articolo approfondito su arXiv , su arxiv.org .
( EN ) Sorgente dell'articolo con alcuni filmati avi nell'archivio tar.gz (cliccare su Download source)
( EN ) Barrow, J. e Sherrer, R., Bosoni e fermioni producono lo stesso campo gravitazionale?
( EN ) New Scientist press release of the MGS test by Iorio in the gravitational field of Mars , su space.newscientist.com . URL consultato il 21 gennaio 2007 (archiviato dall' url originale il 15 marzo 2008) .

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Portale Fisica

Portale Relatività

[articolo-rel-tedesco-1] ( DE ) Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (Articolo originale della teoria della relatività generale) ( PDF ), su myweb.rz.uni-augsburg.de , 1916. URL consultato il 19 marzo 2018 .

[2] Karl Schwarzschild , Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie , in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss. , 1916a, pp. 189–196.

[3] Karl Schwarzschild , Über das Gravitationsfeld eines Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie , in Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss. , 1916b, pp. 424–434.

[4] Albert Einstein , Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen ( PDF ), in Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik , vol. 4, 1907, p. 411. URL consultato il 5 maggio 2008 .

[5] Solo a fini divulgativi si può cercare di esemplificare il concetto di curvatura di uno spazio riemanniano utilizzando superfici curve bidimensionali (come nella nota immagine del telo elastico incurvato dal peso di un corpo massivo): queste tuttavia non esibiscono tutti i fenomeni che possono presentarsi in dimensione tre e quattro, tanto più che noi riusciamo a visualizzare superfici immerse in uno spazio tridimensionale euclideo, non pseudoeuclideo.

[6] Jim Baggott, Origini. La storia scientifica della creazione, Adelphi, 2015 (Capitolo 1: "In principio", sezione: "Massa ed energia").

[7] Si definisce spazio riemanniano una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico definito positivo (euclideo), e spazio pseudo-riemanniano una varietà differenziabile dotata di tensore metrico di segnatura indefinita, detto anche metrica pseudo-euclidea

[8] Il gravitone , una ipotetica particella mediatrice della interazione gravitazione, avrebbe perciò elicità due.

[9] L. Lusanna, The Chrono-geometrical Structure of Special and General Relativity , Lectures given at the 42nd Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Ladek, Poland, 6-11 February 2006 [1]

[10] Carlo Rovelli, Sette brevi lezioni di fisica , Milano, Adelphi, 2014, p. 47.

[11] C. Rovelli, ibidem , p. 51.

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V · D · M Relatività generale
Equazioni di campo di Einstein · Formulazione matematica · Risorse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}$
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