Celosía Bravais

Las cinco celosías de cristal en dos dimensiones: oblicua, rectangular, rectangular centrada, hexagonal y cuadrada.

En geometría y cristalografía , una red cristalina (o "red de Bravais", del francés Auguste Bravais, quien la describió por primera vez en 1848 ^[1] ) es un conjunto infinito de puntos discretos que tienen una disposición geométrica que siempre es la misma en todo el espacio . Los puntos de la red consisten en una "base" (encerrada dentro de una celda unitaria ), es decir, un conjunto de una o más entidades moleculares ( átomos , moléculas o iones ), para las cuales la estructura atómica de los cristales está definida por la red. y desde la base de la celosía. ^[2]

La teoría de grupos nos permite definir el número de celosías de Bravais posibles para cada dimensión del espacio.

Definición

Coloque el origen de los ejes cartesianos en cualquier punto de la celosía, cada punto está identificado por un vector . Una red de Bravais se genera mediante operaciones de traducción en el espacio de un conjunto de vectores, llamados vectores primitivos . Los vectores primitivos son linealmente independientes y su elección no es única.

La definición general de celosía de Bravais $\mathbf {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ en d dimensiones es:

\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{d}n_{i}\mathbf {a} _{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ sum _ {i = 1} ^ {d} n_ {i} \ mathbf {a} _ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ sum _ {i = 1} ^ {d} n_ {i} \ mathbf {a} _ {i}}

Dónde está $n_{i}$ ${\ Displaystyle n_ {i}}$ ${\ Displaystyle n_ {i}}$ son enteros y $\mathbf {a} _{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ los vectores primitivos de la celosía.

La celosía en una dimensión es única y está definida por la ecuación:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1}}

En dos dimensiones, la celosía se define mediante la ecuación:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2}}

con $\mathbf {a} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ Y $\mathbf {a} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ , vectores primitivos, que no son paralelos . Hay cinco celosías Bravais en dos dimensiones: oblicua, rectangular, rectangular centrada, hexagonal y cuadrada. En realidad, hay cuatro sistemas cristalinos , ya que el rectangular y el rectangular centrado pertenecen al mismo sistema cristalino.

La celosía tridimensional se define mediante la ecuación:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf {a} _ {3} }

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf {a} _ {3} }

con $\mathbf {a} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ , $\mathbf {a} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ Y $\mathbf {a} _{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ vectores primitivos, que no son coplanares .

Celda primitiva

El mismo tema en detalle: Celda primitiva .

Una celda primitiva unitaria de una celosía se define como un volumen de espacio que, traducido a través de todos los vectores de una celosía de Bravais, llena completamente la celosía sin superponerse y sin dejar espacios vacíos. Una celda primitiva contiene solo un punto de la celosía y tiene la misma simetría que la celosía.

En el caso tridimensional, conociendo el volumen, es posible determinar la densidad del sólido:

n={\frac {m}{V}}

{\ Displaystyle n = {\ frac {m} {V}}}

{\ Displaystyle n = {\ frac {m} {V}}}

Dónde está $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es la masa de la base e $V\$ ${\ Displaystyle V \}$ $V \$ es el volumen de la celda unitaria. Desde un punto de vista geométrico se muestra que, dichos $\mathbf {a} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}$ , $\mathbf {a} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2}}$ , $\mathbf {a} _{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {3}}$ vectores primitivos, el volumen de la celda unitaria es:

V=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}

{\ Displaystyle V = \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}}

{\ Displaystyle V = \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}}

En el caso tridimensional de una celosía. $s C$ ${\ displaystyle sc}$ ${\ displaystyle sc}$ la elección más trivial es la de un cubo lateral $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ .

Todo el espacio de una celosía puede llenarse con celdas convencionales sin superponerse cuando se traslada a través de un subconjunto de los vectores de la celosía de Bravais.

Construcción de la celda de Wigner-Seitz para una celosía Bravais hexagonal (bidimensional)

Celda primitiva de Wigner-Seitz

El mismo tema en detalle: celda de Wigner-Seitz .

La celda de Wigner-Seitz alrededor de un punto de una celosía de Bravais es la celda primitiva que disfruta de todas las propiedades de simetría de la estructura.

Celosía recíproca

El mismo tema en detalle: celosía recíproca .

Consideremos un conjunto de puntos $\mathbf {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ que constituyen una red de Bravais y una onda plana , definida por $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$ . Tal ola, para algunos valores de $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ , tiene la periodicidad de la celosía de Bravais. El conjunto de vectores de onda $\mathbf {K}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {K}}$ describir ondas planas con la periodicidad de un retículo de Bravais dado se llama retículo recíproco. Desde un punto de vista algebraico, esta condición corresponde a la escritura:

e^{i\mathbf {K} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} )}=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }

{\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {R})} = e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {R})} = e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {r}}}

Esta relación tiene que ser válida para cualquier $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ se deduce que el conjunto de vectores del retículo recíproco satisface la relación:

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

{\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

{\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

para todos los puntos $\mathbf {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ de la celosía de Bravais.

Clasificación

Las celosías de Bravais se clasifican según la forma de la celda convencional, donde cada forma corresponde a uno de los siete sistemas cristalinos , y a la presencia o ausencia de puntos de la celosía en el centro del cuerpo o de las caras de este.

Los siete sistemas cristalinos son:

y el centrado de la rejilla puede ser:

primitivo (P): ningún punto más allá de los vértices de la celda
cuerpo centrado (I): un punto en el centro de la celda
centrado en la cara (F): un punto en el centro de cada cara
con una cara centrada (A, B o C): un punto en el centro de las dos caras en una sola dirección

Sin embargo, no todas las combinaciones de centrado de sistemas cristalinos dan lugar a diferentes tipos de red, ya que algunas de ellas son equivalentes: por ejemplo, una red monoclínica I es equivalente a una red monoclínica C cambiando la elección de vectores base.

En tres dimensiones hay 14 tipos de celosía Bravais, ^{[1] que se} muestran a continuación. En cuanto a las siglas con las que se identifican, normalmente se utiliza la notación que deriva del inglés.

Celosía Bravais	Sistema cristalino	V _C / V _P (*)	Generadores	Características	Tema musical
Cubic P (simple)	Cúbico a = b = c α = β = γ = 90 °	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c	El lado de la celda es igual al doble del radio atómico del elemento considerado; podemos pensar que los átomos están representados por esferas rígidas y que la celda unitaria está formada por esferas en contacto a lo largo de los bordes del cubo. La relación entre el espacio ocupado por las esferas y el volumen de la celda da un factor de empaquetamiento de 0,52.	Carolina del Sur
Cubic I (centrado en el cuerpo)		2	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = ( a + b + c ) / 2	la estructura cúbica centrada en el cuerpo contiene un átomo dentro de la estructura cúbica. Las esferas están en contacto solo a lo largo de las diagonales de la celda cúbica. El factor de empaquetamiento es 0,68.	bcc
Cubic F (centrado en la cara)		4	a ₁ = ( a + b ) / 2 a ₂ = ( a + c ) / 2 a ₃ = ( b + c ) / 2	La estructura cúbica centrada en las caras consta de celdas elementales que contienen un átomo en cada cara de la estructura cúbica. El parámetro de celosía se amplía aún más en comparación con los anteriores. El factor de empaquetamiento es 0,74.	fcc
Tetragonal P (simple)	Tetragonal a = b α = β = γ = 90 °	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c		S t
Tetragonal I (centrado en el cuerpo)	Tetragonal a = b α = β = γ = 90 °	2	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = ( a + b + c ) / 2		bct
Ortorrómbico P (simple)	Ortorrómbico α = β = γ = 90 °	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c		sé
Ortorrómbico I (centrado en el cuerpo)		2	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = ( a + b + c ) / 2		orco
Ortorrómbica F (cara centrada)		4	a ₁ = ( a + b ) / 2 a ₂ = ( a + c ) / 2 a ₃ = ( b + c ) / 2		orco
Ortorrómbica C (base centrada)		2	a ₁ = a a ₂ = ( a + b ) / 2 a ₃ = c		orco
Monoclínico P (simple)	Monoclínica α = γ = 90 °	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c		mcl
Monoclínico C (base centrada)	Monoclínica α = γ = 90 °	2	a ₁ = a a ₂ = ( a + b ) / 2 a ₃ = c		mcl
Triclina	Triclina a ≠ b ≠ c	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c
Hexagonal	Hexagonal a = b α = β = 90 °, γ = 120 °	3	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c	Las caras superior e inferior de la celda hexagonal tienen un átomo en el centro. En un plano intermedio entre estas dos caras hay tres átomos dispuestos en un triángulo. Las tres esferas del plano intermedio están en contacto con las de las caras superior e inferior. El factor de empaquetamiento es 0,74.	maleficio
Romboédrico (o trigonal)	Romboédrico (o trigonal) (**) a = b = c	1	a ₁ = a a ₂ = b a ₃ = c		maleficio

(*) Relación entre el volumen de la celda convencional y el de la celda primitiva.
(**) a veces como una celda romboédrica convencional, en lugar de la que se muestra en la figura, se usa la celda hexagonal, centrada en (2 / 3.1 / 3.1 / 3) y (1 / 3.2 / 3.2 / 3).

Número de coordinación

Los primeros vecinos son los puntos de la celosía más cercanos a un punto dado de la celosía en sí. Debido a la naturaleza periódica de la red de Bravais, cada punto tiene el mismo número de vecinos primos. El número de primeros vecinos se llama número de coordinación , esta magnitud es una propiedad fundamental de la red. La tabla da los números de coordinación de las tres celosías cúbicas junto con otras propiedades de dichas celosías.

Retículo	Sin coordinación	Distancia de los primeros vecinos	elementos por conv.
Carolina del Sur	6	para	1
bcc	8	$a{\sqrt {3}}/2$ ${\ Displaystyle a {\ sqrt {3}} / 2}$ ${\ Displaystyle a {\ sqrt {3}} / 2}$	2
fcc	12	$a/{\sqrt {2}}$ ${\ Displaystyle a / {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle a / {\ sqrt {2}}}$	4

Ejemplos de estructura cristalina

La tabla muestra los tipos de estructuras cristalinas para los elementos metálicos más importantes. La distancia interatómica se refiere a la distancia entre dos átomos del mismo elemento medida con la ayuda de difracción de rayos X.

Metal	Estructura	Distancia interatómica (nm)	Radio atómico (nm)
Plata	fcc	0.2888	0.1444
Aluminio	fcc	0.2862	0.1431
Oro	fcc	0.2882	0.1441
Berilio	maleficio	0,228	0,114
Cadmio	maleficio	0,296	0,158
Cobalto	maleficio	0,250	0,125
Cromo	bcc	0.2498	0.1249
Cobre	fcc	0.2556	0.1278
Hierro \ alpha	bcc	0.2482	0.1241
Hierro \ gamma	fcc	0,2540	0.1270
Potasio	bcc	0.4624	0.2312
Litio	bcc	0.3038	0,1519
Magnesio	maleficio	0.322	0,161
Molibdeno	bcc	0.2725	0.1362
Sodio	bcc	0.3174	0,1857
Níquel	fcc	0.2491	0.1246
Dirigir	fcc	0.3499	0,1750
Platino	fcc	0.2775	0.1386
Titanio \ alpha	maleficio	0,293	0,164
Titanio \ beta	bcc	0,285	0,142
Vanadio	bcc	0.2362	0.1316
Wolfram (tungsteno)	bcc	0.2734	0.1367
Zinc	maleficio	0,278	0,139
Circonio	maleficio	0.324	0,162

Nota

^ ^a ^b Goel , pág. 36 .
^ Borchardt-Ott , pág. 23 .

Bibliografía

( EN ) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Física del estado sólido , Holt-Saunders Japón, 1976.
( EN ) Charles Kittel , Introducción a la física del estado sólido , Nueva York, Wiley, 2004.
( EN ) JS Blakemore, Solid State Physics , Cambridge University Press, 1985.
( EN ) A. Goel, Cristalografía , Discovery Publishing House, 2006, ISBN 81-8356-170-5 .

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enlaces externos

( EN ) Bravais Lattice / Bravais Lattice (otra versión) , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[Goel36-1] Goel , pág. 36 .

[2] Borchardt-Ott , pág. 23 .

[1]

[2]