Rigidez

En la mecánica de materiales , la rigidez es la capacidad de un cuerpo para oponerse a la deformación elástica causada por una fuerza aplicada. Su inverso se llama cumplimiento o flexibilidad .

Características

La rigidez está determinada por:

Material , propiedad extensa del material, es decir, depende de la cantidad de material y del material en sí.
Forma , la forma de la estructura consigue dar una rigidez diferente para un mismo material, como en el caso de un tubo ovalado o redondo.
Restricciones , con la misma forma y material, existe una mayor rigidez de un poste restringido en los dos extremos, en lugar de en un solo extremo. ^[1]

Definición

El concepto de rigidez se deriva de la teoría de la elasticidad , cuya ecuación más utilizada es la ley de Hooke . En el método de los elementos finitos y en el análisis de sistemas elásticos con varios grados de libertad, la ley de Hooke se formula en términos tensoriales, permitiendo la extensión de la ley constitutiva a todos los grados de libertad posibles. En el caso de la formulación más general posible, la rigidez se cuantifica mediante el tensor de elasticidad $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ y cumplimiento del tensor de cumplimiento $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ :

\sigma _{ij}=\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\qquad \varepsilon _{ij}=\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{kl}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {kl}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {kl}}

además, tenemos que la energía de deformación $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ y energía complementaria $\gamma$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ $\distancia$ son iguales a:

\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{ij}\,\varepsilon _{kl}\qquad \gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{ij}\,\sigma _{kl}

{\ Displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ gamma = {\ frac { 1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl}}

{\ Displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ gamma = {\ frac { 1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl}}

Dónde está $\sigma _{ij}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ es la tensión $\varepsilon _{ij}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij}}$ y deformación . Los tensores de elasticidad y conformidad son tensores de cuarto orden, por lo que tienen 81 coeficientes, de los cuales 36 son independientes. Si el material examinado es hiperelástico , los coeficientes independientes se reducen a 21 y, si además es homogéneo e isotrópico, serán solo dos.

Utilizando la notación de Voigt , los tensores de elasticidad y conformidad se representan mediante matrices simétricas semidefinidas positivas :

{\begin{aligned}&\sigma _{i}=\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{j}\\&\varepsilon _{i}=\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{j}\\\end{aligned}}\implies {\begin{aligned}&\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\\&\gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{i}\sigma _{j}\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ sigma _ {i} = \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {j} \\ & \ varepsilon _ {i} = \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {j} \\\ end {alineado}} \ implica {\ begin {alineado} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} \\ & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \\\ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ sigma _ {i} = \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {j} \\ & \ varepsilon _ {i} = \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {j} \\\ end {alineado}} \ implica {\ begin {alineado} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} \\ & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \\\ end {alineado}}}

Rigidez longitudinal

En el caso unidimensional, la formulación tradicional de la relación que expresa una tensión longitudinal a lo largo de un eje ${\hat {x}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat x}$ Y:

\mathbf {F} =-k_{E}\Delta l\cdot {\hat {\mathbf {x} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

por tanto, en este caso, la rigidez de un cuerpo sometido a un alargamiento $\Delta l$ ${\ Displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ causado por una fuerza aplicada $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ está representado por la constante elástica longitudinal $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ , en consecuencia, la conformidad será expresada por la constante plástica longitudinal $k_{C}=k_{E}^{-1}$ ${\ Displaystyle k_ {C} = k_ {E} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle k_ {C} = k_ {E} ^ {- 1}}$ . En el Sistema Internacional , la constante elástica longitudinal se mide en N · m ^-1 ( newton por metro ) , mientras que la constante plástica longitudinal se mide en m · N ^-1 ( metro sobre newton ).

Para expresar la tensión longitudinal, la formulación actual del caso unidimensional utiliza el coeficiente de expansión lineal $\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ :

\sigma =E\varepsilon

{\ Displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}

{\ Displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}

donde la rigidez está representada por el módulo de elasticidad longitudinal de Young $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ , mientras que la conformidad se expresará por el módulo de plasticidad longitudinal $C=E^{-1}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ .

Rigidez rotacional

De manera completamente análoga, en el caso unidimensional, la formulación tradicional de la relación que expresa un esfuerzo tangencial, a un plano al que un eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ es ortogonal, es:

\mathbf {M} =-k_{\theta }\Delta \alpha \cdot {\hat {\mathbf {z} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

por tanto, en este caso, la rigidez de un cuerpo que sufre una variación angular $\Delta \alpha$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ causado por un momento aplicado $\mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ está representado por la constante elástica tangencial $k_{\theta }$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta}}$ , consecuentemente el cumplimiento será expresado por el plástico tangencial constante $k_{\gamma }=k_{\theta }^{-1}$ ${\ Displaystyle k _ {\ gamma} = k _ {\ theta} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ gamma} = k _ {\ theta} ^ {- 1}}$ . En el Sistema Internacional, la constante elástica tangencial se mide en N · m (newton por metro) , mientras que la constante plástica tangencial se mide en (N · m) ^-1 ( uno en newton por metro ).

Para expresar la tensión tangencial, la formulación actual del caso unidimensional utiliza el coeficiente de deslizamiento angular $\gamma$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ $\distancia$ :

\tau =G\gamma

{\ Displaystyle \ tau = G \ gamma}

{\ Displaystyle \ tau = G \ gamma}

donde la rigidez está representada por el módulo de elasticidad tangencial $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ , mientras que el cumplimiento se expresará por el módulo de plasticidad tangencial $G^{-1}$ ${\ Displaystyle G ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle G ^ {- 1}}$ .

Relación entre constantes y módulo de elasticidad

Las constantes y el módulo de elasticidad, ambos utilizados para expresar rigidez, están estrechamente relacionados entre sí. De los informes anteriores se puede deducir que $k_{E}=E{\frac {S}{l_{i}}}$ ${\ Displaystyle k_ {E} = E {\ frac {S} {l_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle k_ {E} = E {\ frac {S} {l_ {i}}}}$ es eso $k_{\theta }=GSb$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta} = GSb}$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta} = GSb}$ , Dónde está $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ es la sección, $l_{i}$ ${\ Displaystyle l_ {i}}$ ${\ Displaystyle l_ {i}}$ es la dimensión longitudinal e $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ es el brazo de la fuerza que causa el momento. Sin embargo, existe una profunda diferencia entre las dos categorías de cantidades; de hecho, el módulo de elasticidad son propiedades constitutivas del material, mientras que las constantes elásticas son propiedades relativas al cuerpo elástico. Es decir, el módulo de elasticidad depende solo del material, mientras que las constantes elásticas dependen del cuerpo y de las condiciones de restricción.

Aplicaciones

Ingenieria

En general, el término rigidez debe usarse cuando se habla de un material, rigidez cuando se habla de una estructura. La rigidez de una estructura es de fundamental importancia en muchas aplicaciones de ingeniería , de hecho representa un parámetro de elección fundamental del material. Se busca una alta rigidez cuando se desean deformaciones bajas y una rigidez baja cuando se requiere flexibilidad. El desplazamiento puede, en general, referirse a un punto distinto del de aplicación de la fuerza, y una estructura complicada no se deformará solo en la misma dirección que la dirección de aplicación de la fuerza. A través del tensor de rigidez es posible caracterizar la rigidez de la estructura en todas las direcciones. Para un sistema simple de puntos conectados por resortes, la matriz de rigidez describe la conectividad entre los grados de libertad del propio sistema. Un ejemplo sencillo es la matriz de rigidez de una viga . Las mismas cantidades utilizadas para expresar la rigidez rotacional también se utilizan para expresar la rigidez cortante, la relación entre la deformación cortante por unidad de fuerza aplicada y la rigidez torsional, es decir, la relación entre el momento de torsión aplicado y el ángulo de rotación.

Fisiología

En fisiología , el término rigidez (en inglés rigidez) indica la fuerza mecánica, la densidad y la rigidez estructural de los tendones y de las estructuras del tejido conectivo del músculo . Básicamente, cuanto mayor es la rigidez de estos tejidos, mayor es la energía que se puede almacenar durante un movimiento excéntrico, para luego ser devuelta y liberada durante la fase concéntrica. Patológicamente, indica dificultad para doblar una articulación o dificultad en la flexión muscular debido a la hipertonía .

Nota

^ análisis de elementos finitos, archivado el 5 de marzo de 2013 en Internet Archive .

Bibliografía

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Stefano Lenci, Lecciones de mecánica estructural , Bolonia, Pitagora Editrice, 2009.

enlaces externos

Curso de Grado en Ingeniería Mecánica de la Universidad de Florencia Año académico 2004/05 Rigidez ( PDF ), en pcm.unifi.it . Obtenido el 22 de febrero de 2011 (archivado desde el original el 30 de diciembre de 2005) .

Control de autoridad	GND (DE) 4128096-9

Portal de ingeniería

Portal mecánico

[1] álisis de elementos finitos, archivado el 5 de marzo de 2013 en Internet Archive .

[1]