Semieje mayor

En geometría , el semi-eje mayor $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ es un concepto geométrico aplicable a la elipse y a la hipérbola .

Elipse

a es el semieje mayor, b el semieje menor

El semi-eje mayor de una elipse es la mitad del eje mayor, pasa desde el centro a través de uno de los focos , hasta el borde de la elipse.

Está relacionado con el eje semi-menor. $B$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle b}$ por excentricidad $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ y la recta semilata $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ , de la siguiente manera:

b=a{\sqrt {1-e^{2}}},\qquad al=b^{2}.

{\ Displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}, \ qquad al = b ^ {2}.}

{\ Displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}, \ qquad al = b ^ {2}.}

El semieje mayor es el valor promedio de la distancia mínima y máxima desde un foco a los puntos de la elipse. Considerando la ecuación en coordenadas polares , con un foco en el origen y el otro en el eje positivo de la abscisa,

r(1-e\cos \theta )=l.

{\ Displaystyle r (1-e \ cos \ theta) = l.}

{\ Displaystyle r (1-e \ cos \ theta) = l.}

El valor medio de $r={\dfrac {l}{1+e}}$ ${\ Displaystyle r = {\ dfrac {l} {1 + e}}}$ ${\ Displaystyle r = {\ dfrac {l} {1 + e}}}$ Y $r={l \over {1-e}}$ ${\ Displaystyle r = {l \ over {1-e}}}$ ${\ Displaystyle r = {l \ over {1-e}}}$ , Y $a={l \over {1-e^{2}}}.$ ${\ Displaystyle a = {l \ over {1-e ^ {2}}}.}$ ${\ Displaystyle a = {l \ over {1-e ^ {2}}}.}$

Hipérbole

El semieje mayor de una hipérbola es la mitad de la distancia entre las dos ramas; si es en la direccion $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ la ecuación es:

{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

{\ Displaystyle {\ frac {\ left (xh \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (yk \ right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}

{\ Displaystyle {\ frac {\ left (xh \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (yk \ right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}

En términos de semilata recta y excentricidad,

a={{l} \over {e^{2}-1}}.

{\ Displaystyle a = {{l} \ over {e ^ {2} -1}}.}

{\ Displaystyle a = {{l} \ over {e ^ {2} -1}}.}

Astronomía

En astronomía , el semieje mayor es una de las características más importantes de una órbita , junto con su período orbital . Para los objetos en el sistema solar , el semi-eje mayor está relacionado con el período orbital, una relación expresada por la tercera ley de Kepler (en el momento en que se dedujeron empíricamente),

T^{2}\propto a^{3},

{\ Displaystyle T ^ {2} \ propto a ^ {3},}

{\ Displaystyle T ^ {2} \ propto a ^ {3},}

Dónde está $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ es el período en años y $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ es el semi-eje mayor en unidades astronómicas . Esta forma es una simplificación de la forma general determinada por Isaac Newton :

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},

{\ Displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3},}

{\ Displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3},}

Dónde está $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es la constante gravitacional universal , $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ es la masa del cuerpo central, e $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es la masa del cuerpo en órbita. Por lo general, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, tanto que $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ se puede ignorar.

A menudo se dice que el semieje mayor es la distancia " promedio " entre el primario (el foco de la elipse) y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, ya que depende de qué medio se esté considerando.

Al promediar la distancia sobre la anomalía excéntrica , el resultado es el semieje mayor. Al promediar la anomalía verdadera , resulta el eje semi-menor, extraño decirlo $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ ${\ Displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$ . Finalmente, al calcularlo sobre la anomalía promedio , se obtiene el promedio a lo largo del tiempo: $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)$ ${\ Displaystyle a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} \ right)}$ ${\ Displaystyle a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} \ right)}$ .