Mama (matemáticas)

Dado un triángulo rectángulo , el seno de un ángulo agudo se define como la relación entre las longitudes de la esquina opuesta del cateto y la hipotenusa dell '

En matemáticas , en particular en trigonometría , dado un triángulo rectángulo, el seno de uno de los dos ángulos internos adyacentes a la hipotenusa se define como la relación entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo y de la hipotenusa .

De manera más general, el seno de un ángulo $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , expresada en grados o radianes , es una cantidad que depende solo de $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , construido utilizando la circunferencia de la unidad .

Definiendo como $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ el pecho en la esquina $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ obtenemos la función seno , una función trigonométrica de fundamental importancia en el análisis matemático . En el contexto italiano, esta función a menudo se indica con $\mathrm {sen} x$ ${\ Displaystyle \ mathrm {sen} x}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {sen} x}$ .

Definición

En el triángulo rojo de la figura, el seno de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es dado por

\sin x={\overline {DC}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ overline {DC}}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ overline {DC}}}

De manera más general, el seno de un ángulo se define $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ partiendo de la circunferencia goniométrica , es decir, de la circunferencia con una unidad de radio en el plano cartesiano . Tomado el rayo que sale del origen que forma un ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ con el eje de abscisas como en la figura, el seno del ángulo se define por lo tanto como el valor de la coordenada $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ del punto de intersección entre el rayo y la circunferencia (en la figura, es la longitud del segmento $C. D.$ ${\ Displaystyle CD}$ $CD$ ).

El dominio de la función seno es el conjunto de números reales, mientras que la imagen es el intervalo real $[-1;+1]$ ${\ Displaystyle [-1; +1]}$ $[-1; +1]$ , es decir, aplicando esta función a todos los números reales obtenemos todos los números reales incluidos entre $-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$ Y $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ , extremos incluidos.

La siguiente tabla enumera los principales valores notables asumidos por la función seno: ^[1] ^[2]

$X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en radianes	0	${\frac {\pi }{12}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{10}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}$ ${\ frac {\ pi} {6}}$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ frac {\ pi} {4}}$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ frac {\ pi} {3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$ ${\ Displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$ ${\ Displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$	$\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}$ ${\ frac {3 \ pi} {2}}$	$2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$
$X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en grados	0 °	15 °	18 °	30 °	45 °	60 °	75 °	90 °	180 °	270 °	360 °
$\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$		${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}$	${\frac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ frac {1} {2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {2}} {2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	$1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$		$-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$

En los textos matemáticos, el seno de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ generalmente se indica con la notación $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ o $\operatorname {sen} x$ ${\ Displaystyle \ operatorname {sen} x}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {sen} x}$ , dónde $\sin$ ${\ Displaystyle \ sin}$ $\ izquierda$ es una abreviatura del latín sinus que también se utiliza en países de habla inglesa.

Existe otra definición de seno que se relaciona con las rotaciones: el seno de un ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es el componente a lo largo del eje de ordenadas de la unidad vectorial $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , vector del eje de abscisas, girado por $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ .

Función seno

El mismo tema en detalle: Sinusoide .

La función seno se define asociándola con $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el seno del ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en radianes , y se indica con $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ . Siempre y cuando $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $x+2\pi$ ${\ Displaystyle x + 2 \ pi}$ $x + 2 \ pi$ definir el mismo ángulo, la función seno es una función periódica de período $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , Dónde está $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ es el ángulo redondo .

Representación gráfica de la función seno

Dibujo y = sin x usando el círculo trigonométrico unitario.

Seno y coseno

Existe la relación fundamental entre seno y coseno :

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,

que es una consecuencia del teorema de Pitágoras . De hecho en el triangulo $O C. D.$ ${\ Displaystyle OCD}$ $TOC$ en la segunda figura el coseno de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Se define como

\cos x={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}.

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}}.}

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}}.}

Por otro lado, el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $O C. D.$ ${\ Displaystyle OCD}$ $TOC$ proporciona el informe

{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {OD}}^{2},

{\ Displaystyle {\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2} = {\ overline {OD}} ^ {2},}

{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2} = {\ overline {OD}} ^ {2},

y por lo tanto

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=\left({\frac {\overline {DC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}+\left({\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}={\frac {{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}={\frac {{\overline {OD}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}=1.

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = \ left ({\ frac {\ overline {DC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ overline {OD}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = 1.}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = \ left ({\ frac {\ overline {DC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ overline {OC}} {\ overline {OD}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {{\ overline {DC}} ^ {2} + {\ overline {OC}} ^ {2 }} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ overline {OD}} ^ {2}} {{\ overline {OD}} ^ {2}}} = 1.

La relación también es válida:

\sin x=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right).

{\ Displaystyle \ sin x = \ cos \ left (x - {\ frac {\ pi} {2}} \ right).}

{\ Displaystyle \ sin x = \ cos \ left (x - {\ frac {\ pi} {2}} \ right).}

Al igual que con el coseno , la cosecante de un ángulo es $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ dividió el seno del ángulo.

Propiedades analíticas de la función seno

La función seno (azul) y su aproximación dada por el polinomio de Taylor de 7º grado (rosa).

La derivada de la función seno es la función coseno: ^[3]

\sin 'x=\cos x.

{\ Displaystyle \ sin 'x = \ cos x.}

\ sin 'x = \ cos x.

La segunda derivada es en cambio

\sin ''x=-\sin x.

{\ Displaystyle \ sin '' x = - \ sin x.}

\ sin '' x = - \ sin x.

La función seno es una función analítica , cuya expansión de la serie de Taylor es

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.

{\ Displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)! }}.}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 !}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}.

En el análisis matemático, esta igualdad se usa a menudo para definir el seno. La misma serie define el seno como una función holomórfica en todo el plano complejo .

Ecuaciones fundamentales relacionadas con la mama.

Aquí hay algunas ecuaciones fundamentales relacionadas con la función seno: ^[4]

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

\ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,

{\ Displaystyle \ sin (x \ pm y) = \ sin x \ cos y \ pm \ cos x \ sin y,}

\ sin (x \ pm y) = \ sin x \ cos y \ pm \ cos x \ sin y,

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,

{\ Displaystyle \ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,}

\ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,

con la adición de la condición de que:

0<x\cos x<\sin x<x{\text{ per }}0<x<1.

{\ Displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x {\ text {per}} 0 <x <1.}

0 <x \ cos x <\ sin x <x {\ text {per}} 0 <x <1.

También existe una identidad trigonométrica que relaciona la función seno con la función tangente :

\sin x={\frac {2\tau }{1+\tau ^{2}}},\quad {\text{ con }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}.

{\ Displaystyle \ sin x = {\ frac {2 \ tau} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} { 2}}.}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ frac {2 \ tau} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} { 2}}.}

Esta identidad es de fundamental importancia en la resolución de ecuaciones goniométricas en las que la figura desconocida es el argumento tanto de un seno como de un coseno o de funciones derivadas de estos. De hecho, existe una identidad análoga en cuanto al coseno y el uso conjunto de estas dos identidades permite la resolución de la ecuación en la incógnita. $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ .

Definiciones relacionadas

El recíproco del seno, definido donde el seno es distinto de cero, es la cosecante : ^[5]

\csc x={\frac {1}{\sin x}}

{\ Displaystyle \ csc x = {\ frac {1} {\ sin x}}}

\ csc x = {\ frac {1} {\ sin x}}

La función seno restringida al intervalo $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]$ como dominio y con codominio $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ es biyectivo , y por lo tanto tiene un inverso , llamado arcoseno e indicado con $\arcsin$ ${\ Displaystyle \ arcsin}$ $\ arcsin$ o con $\sin ^{-1}$ ${\ Displaystyle \ sin ^ {- 1}}$ $\ sin ^ {- 1}$ que retoma la notación de la función inversa . ^[6] Por definición, tenemos:

x=\arcsin y\Longleftrightarrow y=\sin x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -1\leq y\leq 1.

{\ Displaystyle x = \ arcsin y \ Longleftrightarrow y = \ sin x, \ quad - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq x \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad - 1 \ leq y \ leq 1.}

x = \ arcsin y \ Longleftrightarrow y = \ sin x, \ quad - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq x \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \ quad -1 \ leq y \ leq 1.

Otras propiedades

De la fórmula de Euler se puede deducir que la función seno está relacionada con la función exponencial y con la función seno hiperbólica. De hecho, para cualquier número real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Si tu tienes

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}={\frac {\sinh(ix)}{i}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} = {\ frac {\ sinh (ix)} {i}}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} = {\ frac {\ sinh (ix)} {i}}}

Algunas fórmulas particulares relativas a la función seno involucran la operación del producto.

Por ejemplo, resulta para cualquier entero $n\geq 2$ ${\ Displaystyle n \ geq 2}$ ${\ Displaystyle n \ geq 2}$

\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}

En el análisis complejo , aplicando el teorema de factorización de Weierstrass a la función seno, se puede expresar como un producto infinito , utilizando la siguiente fórmula que se aplica a cualquier número complejo $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$

\sin z=z\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ Derecha)}

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ Derecha)}

Otro producto infinito relaciona el seno y el coseno:

\sin z=z\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {z}{2^{n}}}\right)

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right)}

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right)}

La función seno también está relacionada con algunas funciones especiales, como puede verse, por ejemplo, por la fórmula de reflexión de la función Gamma

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin(\pi z)}

{\ Displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}}

\ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}

y por la ecuación funcional satisfecha por la función zeta de Riemann

\zeta (z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z)\zeta (1-z)

{\ Displaystyle \ zeta (z) = 2 ^ {z} \ pi ^ {z-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi z} {2}} \ right) \ Gamma (1-z) \ zeta (1-z)}

{\ Displaystyle \ zeta (z) = 2 ^ {z} \ pi ^ {z-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi z} {2}} \ right) \ Gamma (1-z) \ zeta (1-z)}

Otra relación entre la función seno y la función Gamma viene dada por la siguiente integral definida, válida para $n>1$ ${\ Displaystyle n> 1}$ $n> 1$ : ^[7]

\int _{0}^{\infty }\sin(x^{n})dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2n}}\right)

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ sin \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right)}

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ sin \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right)}

Finalmente, mediante la fórmula de la fracción continua de Euler es posible expresar la función seno en forma de fracción continua : ^[7] ^[8]

\sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3\ x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5\ x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\ddots }}}}}}}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {(2 \ cdot 3-x ^ {2}) + {\ cfrac {2 \ cdot 3 \ x ^ {2}} {(4 \ cdot 5-x ^ {2}) + {\ cfrac {4 \ cdot 5 \ x ^ {2}} {(6 \ cdot 7-x ^ {2}) + \ ddots }}}}}}}}}

{\ Displaystyle \ sin x = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {x ^ {2}} {(2 \ cdot 3-x ^ {2}) + {\ cfrac {2 \ cdot 3 \ x ^ {2}} {(4 \ cdot 5-x ^ {2}) + {\ cfrac {4 \ cdot 5 \ x ^ {2}} {(6 \ cdot 7-x ^ {2}) + \ ddots }}}}}}}}}

Historia y origen del nombre

El concepto de pecho fue introducido por el matemático y astrónomo indio Aryabhata I (en devanāgarī : आर्यभट) en su obra Aryabhatiya ( 499 ). ^[9]

El seno es por definición la mitad de una cuerda , es decir, un segmento que une dos puntos (llamados extremos ) de una circunferencia . En sánscrito , "medio acorde" se traduce como jya-ardha , a veces reemplazado con ardha-jya y acortado a jya "acorde". Este término fue importado al idioma árabe como jiba , un término sin significado hasta entonces, pero que reflejaba la pronunciación del nombre jya . Según las reglas de la lengua árabe, este nombre se escribió con las dos consonantes jb , sin vocales. Más tarde, cuando los traductores occidentales recurrieron a fuentes árabes, interpretaron la palabra jb como jaib , cuyo significado era "bahía". Finalmente el italiano Gherardo da Cremona ( 1114 - 1187 ) traduce la palabra en latín como los senos, el significado de lo que era, precisamente, "bahía".

Nota

^ Valores de funciones goniométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ EjercicioMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .
^ Derivado de la mama , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ Fórmulas trigonométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ secante , en Enciclopedias en línea , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ arcoséno , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ ^a ^b Wolfram Mathworld - Sine , en mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2020 .
^ Mauro Fiorentini - Funciones expresadas a través de fracciones continuas , en bitman.name . Consultado el 10 de abril de 2020 .
^ Aryabhata , en pls.dima.unige.it . Consultado el 19 de octubre de 2016 .

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos sobre los senos

enlaces externos

Sine - de Wolfram MathWorld

Portal de matemáticas : acceda a las entradas de Wikipedia relacionadas con las matemáticas

[1] Valores de funciones goniométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[2] EjercicioMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .

[3] Derivado de la mama , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[4] Fórmulas trigonométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[5] secante , en Enciclopedias en línea , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[6] rcoséno , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[mathworld-7] Wolfram Mathworld - Sine , en mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2020 .

[8] Mauro Fiorentini - Funciones expresadas a través de fracciones continuas , en bitman.name . Consultado el 10 de abril de 2020 .

[9] Aryabhata , en pls.dima.unige.it . Consultado el 19 de octubre de 2016 .

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