Bola

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Nota de desambiguación.svg Desambiguación : si está buscando otros significados, consulte Esfera (desambiguación) .
Esfera generada por computadora

La esfera (del griego antiguo : σφαῖρα , sphaîra ) es el sólido geométrico que consta de todos los puntos que se encuentran a una distancia menor o igual a una distancia fija. , llamado radio de la esfera , desde un punto llamado el centro de la esfera .

El conjunto de puntos cuya distancia es igual a se llama la superficie esférica del centro y radio .

Cada una de las mitades de un sólido esférico dividida en dos por un plano que pasa por el centro o cada una de las dos superficies de una esfera dividida por su circunferencia máxima se denomina "hemisferio".

Representación analítica

En geometría cartesiana , una superficie esférica con un centro y radio está representado por el conjunto de puntos tal que

Esfera 3d.png

Los puntos de la superficie esférica se pueden parametrizar en coordenadas esféricas de la siguiente manera

Dónde está Y representar la latitud y la longitud del punto, variando en intervalos

Cada punto de la superficie esférica está descrito por un solo par de este tipo, excepto los polos: el par siempre describe el polo norte, e siempre el polo sur (por cualquier valor de ).

Alternativamente, se puede utilizar la ecuación cartesiana de la superficie esférica:

con , , , , números reales tales que . A partir de la ecuación cartesiana es posible obtener las coordenadas del centro:

Superficie

L ' área de la superficie de una esfera de radio viene dada por la ecuación:

Prueba analítica en coordenadas cartesianas

La esfera se puede considerar como un sólido de rotación obtenido al girar alrededor del eje. la gráfica de la función

que representa un semicírculo de radio . Por tanto, según el primer teorema de Guldino , la superficie lateral viene dada por:

Prueba analítica en coordenadas polares

La superficie total de la esfera se puede obtener, mediante el primer teorema de Guldino , mediante la siguiente integral:

Volumen

El volumen de la esfera de radio. viene dada por la ecuación ( integral en de la superficie):

La prueba de esta fórmula se puede obtener inmediatamente utilizando el método de los indivisibles o con las herramientas de análisis matemático .

Prueba analítica

Piense en sumar todas las áreas de los círculos que se obtienen al seccionar la esfera con planos horizontales. El radio de estos círculos variará con una función de la distancia del plano horizontal desde el centro de la esfera y dado que el área de un círculo es igual a para el radio al cuadrado:

Dónde está precisamente es la distancia del plano al centro de la esfera.

Radio a distancia

Por lo tanto, del teorema de Pitágoras , es válida:

que, sustituido en la ecuación de volumen, es:

El volumen se puede calcular de la misma forma. de un segmento de una esfera en altura

Prueba por medio de infinitesimales

La esfera también puede entenderse como el conjunto de numerosas pirámides infinitesimales , todas con el vértice en el centro de la esfera y con los polígonos básicos de las pirámides descansando sobre la superficie de la esfera: estas pirámides elementales infinitas llenarán todo y solo el volumen de la esfera. El volumen de cada pirámide es:

mientras que el volumen total es igual a

de donde podemos deducir el significado de la fórmula para el volumen de la esfera.

Otras propiedades

La esfera es la figura tridimensional con la relación mínima superficie / volumen: esto explica por qué muchos objetos físicos tienden a esta forma, desde gotas de líquido hasta cuerpos celestes. Por ejemplo, las burbujas son esféricas porque la tensión superficial tiende a minimizar el área para el mismo volumen.

El cilindro circunscrito tiene un volumen que es la de la esfera, y una superficie lateral que es la misma que la de la esfera. Este hecho, y las fórmulas escritas anteriormente, ya eran conocidas por Arquímedes .

A medida que aumenta el radio, el volumen de la esfera crece más que la superficie. De hecho, la relación entre estas dos cantidades es .

Una esfera también se puede definir como un semicírculo que gira alrededor de su diámetro . Si usa una elipse , obtiene un elipsoide de rotación.

Terminología

Dos puntos de la superficie esférica que están en la misma línea que pasa por el origen se denominan antípodas , y dicha línea se llama eje , ya que es un eje de simetría de la esfera.

Un círculo máximo es una circunferencia que tiene el mismo centro que la esfera, por lo que se obtiene al cruzar la superficie esférica con un plano que pasa por el origen.

Si un punto de la superficie esférica se identifica como el polo norte , su antípoda es el polo sur y el ecuador es el gran círculo equidistante de los dos polos. Los grandes círculos que pasan por los polos son los meridianos , mientras que la línea recta que pasa por el origen y los dos polos es el eje . Esta terminología también se usa para cuerpos celestes como la tierra , aunque no perfectamente esféricos.

Generalizaciones a otras dimensiones

Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: Hiperesfera .

La esfera se puede generalizar a otras dimensiones . Para cualquier número natural , una esfera -dimensional es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano -dimensional que tienen una distancia fija desde cierto punto en el espacio.

P.ej:

  • una esfera de 0 dimensiones se compone de un par de puntos en ;
  • una esfera unidimensional es un círculo de radio en el plan ;
  • una esfera bidimensional es la superficie esférica ordinaria;
  • una esfera tridimensional es una esfera en el espacio euclidiano tetradimensional (entendido como una hipersuperficie tridimensional hipersférica).

Las esferas de tamaño> 2 también se denominan hiperesferas . La esfera -dimensional del radio unitario, centrado en el origen, se indica con .

Generalizaciones en espacios métricos

De manera más general, en un espacio métrico , la esfera central y radio es el set

Una esfera en el espacio métrico puede ser un objeto muy diferente de la esfera habitual. Por ejemplo, puede estar vacío: si consideramos con la métrica euclidiana, una esfera de radio está vacío si y solo si no se puede escribir como una suma de cuadrícula.

Fórmulas

Fórmulas de la esfera
Circunferencia
Superficie
Volumen
Área de un gran círculo
Volumen de un segmento de esfera
Área de un casquete esférico
Momento de inercia

Donde con nos referimos al radio de la esfera, con la altura del segmento de la esfera o el casquete esférico, con la amplitud en estereorradián del casquete.

Ingenieria

Esfera campeona del proyecto Avogadro
Icono de lupa mgx2.svg El mismo tema en detalle: Kilogramo § Propuestas para futura definición .

Por muy cerca que se haya acercado, el hombre aún no ha logrado producir ningún objeto con una esfericidad matemáticamente perfecta. El mejor resultado hasta ahora lo ha logrado el Centro Australiano de Óptica de Precisión , en Lindfield ( Australia ). La esfera se obtuvo mediante un alisado de muy alta precisión de una barra de silicio 28 (un isótopo del silicio ) y es el resultado del Proyecto Avogadro , que tiene como objetivo llegar a la definición del kilogramo perfecto, basándose en el conocimiento del número exacto de átomos que componen esta esfera [1] . Su diámetro es de 9,36 centímetros y como únicas imperfecciones tiene una rugosidad de 0,3 nanómetros y pequeñas desviaciones de esfericidad de unos 60-70 nanómetros. Anteriormente, el mejor resultado lo obtuvo la NASA , que para la sonda Gravity Probe B , construida para estudiar la gravedad en órbita , ha creado giroscopios con desviaciones de menos de 100 nanómetros.

Filosofía

Parménides compara el Ser con una esfera perfecta, siempre igual a sí misma en el espacio y el tiempo, cerrada y finita (para los antiguos griegos lo finito era sinónimo de perfección). La esfera es, de hecho, el único sólido geométrico que no tiene diferencias internas, y es el mismo donde se mire; la hipótesis coincide evocativamente con la teoría de la relatividad de Albert Einstein quien en 1900 dirá: [2] "Si tomáramos binoculares y los apuntáramos en el espacio, veríamos una línea curva cerrada al infinito" en todas las direcciones del espacio, es decir, como un todo, una esfera (para el científico, de hecho, el universo es finito aunque ilimitado, hecho de un espacio redondo plegado sobre sí mismo). [3]

Nota

  1. ^ En busca de la libra perfecta
  2. Albert Einstein se expresó, entre otras cosas, de una manera sorprendentemente similar a Parménides, en el sentido de que él también tendía a negar la discontinuidad del devenir y su desarrollo a lo largo del tiempo . Según Popper, "grandes científicos como Boltzmann, Minkowski, Weyl, Schrödinger, Gödel y, sobre todo, Einstein concibieron las cosas de manera similar a Parménides y se expresaron en términos singularmente similares" (tomado de Karl Popper, The World of Parmenides , Routledge, 1998, ISBN 9780415237307. , It., 1998).
  3. ^ «La materia, según Einstein, se curvaría sobre sí misma, por lo que el universo sería ilimitado pero finito, similar a una esfera, que es ilimitadamente transitable aunque sea finita. Además, Einstein cree que no tiene sentido preguntarse qué existe fuera del universo ”(Ernesto Riva, Handbook of Philosophy , p. 132, 2007, ISBN 978-1-4092-0059-8 ).

Artículos relacionados

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