Onda sinusoidal

Gráfico de seno (rojo) y coseno (azul)

En física , una onda sinusoidal es una onda descrita matemáticamente por la función sinusoidal . Una curva sinusoidal o sinusoidal es la curva representada por el gráfico sinusoidal . Una sinusoide es análoga a la curva relacionada con la función coseno , llamada cosinusoide , desfasada por $\pi /2$ ${\ Displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ .

Definición

Una onda sinusoidal es una onda donde la variable $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es una función de la forma:

{\begin{aligned}y(x)&=A\,\sin \left(2\pi fx+\phi \right)\\&=A\,\sin \left({2\pi  \over \tau }x+\phi \right)\\&=A\,\sin \left(\omega x+\phi \right)\\&=A\cos \left(2\pi f\,x+\phi '\right)\\&=A\cos \left({2\pi  \over \tau }x+\phi '\right)\\&=A\cos \left(\omega x+\phi '\right)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} y (x) & = A \, \ sin \ left (2 \ pi fx + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left ({2 \ pi \ sobre \ tau} x + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left (\ omega x + \ phi \ right) \\ & = A \ cos \ left (2 \ pi f \, x + \ phi '\ right) \\ & = A \ cos \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi' \ right) \\ & = A \ cos \ left (\ omega x + \ phi ' \ right) \ end {alineado}}}

\ begin {align} y (x) & = A \, \ sin \ left (2 \ pi fx + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left (\ omega x + \ phi \ right) \\ & = A \ cos \ left (2 \ pi f \, x + \ phi '\ derecha) \\ & = A \ cos \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi '\ right) \\ & = A \ cos \ left (\ omega x + \ phi' \ right) \ fin {alinear}

Dónde está $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ es la amplitud , mientras que:

\omega \ =2\pi f={2\pi  \over \tau }

{\ Displaystyle \ omega \ = 2 \ pi f = {2 \ pi \ over \ tau}}

\ omega \ = 2 \ pi f = {2 \ pi \ over \ tau}

es la pulsación (o velocidad angular, indica cuántos períodos hay en un intervalo de $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ). Es más:

f={\omega  \over 2\pi }={1 \over \tau }

{\ Displaystyle f = {\ omega \ over 2 \ pi} = {1 \ over \ tau}}

f = {\ omega \ over 2 \ pi} = {1 \ over \ tau}

es la frecuencia , que indica cuántas veces en una unidad de tiempo se repite la función, y:

\tau ={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}

{\ Displaystyle \ tau = {\ frac {1} {f}} = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}}

\ tau = \ frac {1} {f} = \ frac {2 \ pi} {\ omega}

es el período , con $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ o $\phi '=\phi -{\tfrac {\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle \ phi '= \ phi - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ phi '= \ phi - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ la fase .

La gráfica de tal clase de funciones se encuentra entre las líneas $y=A$ ${\ Displaystyle y = A}$ $y = A$ Y $y=-A$ ${\ Displaystyle y = -A}$ $y = - A$ .

Dado que es una función periódica , dijo $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ el período es:

y(x\pm \tau )=y(x)

{\ Displaystyle y (x \ pm \ tau) = y (x)}

y (x \ pm \ tau) = y (x)

Características

Onda que se puede representar mediante un simple movimiento armónico. Según el teorema de Fourier, cada onda se puede escribir como una suma (posiblemente infinita) de ondas armónicas simples

Usando la fórmula de Euler , una onda sinusoidal se puede representar como la parte real de la función:

f(\xi )=f_{\max }\,\Re {\left[\mathrm {e} ^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\omega t+\phi )}\right]}

{\ Displaystyle f (\ xi) = f _ {\ max} \, \ Re {\ left [\ mathrm {e} ^ {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} + \ omega t + \ phi)} \ right]}}

f (\ xi) = f _ {\ max} \, \ Re {\ left [\ mathrm e ^ {i (\ vec k \ cdot \ vec r + \ omega t + \ phi)} \ right]}

Dónde está ${\vec {k}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ vec k}$ es el vector de onda , que identifica la dirección de propagación de la onda en lugar de la velocidad de propagación. Su módulo se llama pulsación espacial y está relacionado con la longitud de onda por la relación:

k=|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}

{\ Displaystyle k = | {\ vec {k}} | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

k = | {\ vec k} | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}

La subida $f_{\max }$ ${\ Displaystyle f _ {\ max}}$ $f _ {\ max}$ es la amplitud de la onda y representa el valor máximo del tamaño representativo de la onda en un período. El término $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ representa la fase inicial de la onda.

Las ondas sinusoidales son una solución particular de la ecuación de onda . La onda es una función del espacio y el tiempo, por lo que una onda unidimensional se asocia con cada posición espacial. $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ y en cualquier momento $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ una amplitud de oscilación $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ alrededor de la posición de equilibrio:

y=f(x,t)\,

{\ Displaystyle y = f (x, t) \,}

y = f (x, t) \,

Por tanto, son posibles dos puntos de vista:

Al elegir evaluar la dimensión de tiempo ( $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es fijo), la oscilación se expresa $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ dependiendo del tiempo $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ igual que $y=f(t)\,$ ${\ Displaystyle y = f (t) \,}$ $y = f (t) \,$ .
Al optar por centrar la atención en el estado de un medio perturbado en un determinado instante ( ${\mathit {t}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {t}}}$ $\ mathit {t}$ es fijo) tenemos el "instantáneo" de la onda, que es la forma de onda (su perfil en el tiempo de observación fijo). El columpio $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ se puede expresar en función de la posición $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ igual que ${\mathit {y=f(x)}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {y = f (x)}}}$ $\ mathit {y = f (x)}$ .

En ambos casos podemos partir de la dependencia cosinusoidal de las variables en el movimiento armónico, obtenida al considerar este último como una proyección adecuada de un movimiento circular uniforme:

y=y_{\max }\cos(\omega t+\phi )

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \ cos (\ omega t + \ phi)}

y = y _ {\ max} \ cos (\ omega t + \ phi)

Dónde está $y_{\max }$ ${\ Displaystyle y _ {\ max}}$ $y _ {\ max}$ es la amplitud de la oscilación e $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ es la etapa inicial. Al atribuir a $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ un valor de 90 grados se puede pasar de una forma en coseno a una en seno, por lo que las expresiones son equivalentes. La expresión está en $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ para implementar la "visualización" de la oscilación a lo largo del eje vertical del sistema coordinado.

Al arreglar la variable $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ tenemos:

y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ tau}} t \ right)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ right)

Dónde está $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ es el período de la ola. La fase inicial es nula, y si la perturbación en el medio se propaga desde el principio, se mueve con la velocidad de fase ${\mathit {v}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {v}}}$ $\ mathit {v}$ luego llegará a otro punto (a la derecha del origen) a cierta distancia ${\mathit {x}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {x}}}$ $\ mathit {x}$ después de un tiempo:

t1={\frac {x}{v}}

{\ Displaystyle t1 = {\ frac {x} {v}}}

t1 = \ frac {x} {v}

Esto significa que el punto en la coordenada ${\mathit {x}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {x}}}$ $\ mathit {x}$ tendrá, en el momento $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , un desplazamiento vertical igual al que tenía el punto de partida t1 segundos antes. Por tanto, la propagación se describe mediante la expresión:

y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}(t-t1)\right]=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ tau}} (t-t1) \ right] = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ tau}} \ left (t - {\ frac {x} {v}} \ right) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ tau} (t-t1) \ right] = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ tau} \ left (t- \ frac {x} {v} \ right) \ right]

Reunión $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ puede cambiar a una forma más común que a veces se encuentra en los textos:

y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right]

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {t} {\ tau}} - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left (\ frac {t} {\ tau} - \ frac {x} {\ lambda} \ right) \ right]

Si se llama número de onda $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ La cantidad $2\pi /\lambda$ ${\ Displaystyle 2 \ pi / \ lambda}$ $2 \ pi / \ lambda$ , y si la pulsación es $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ , la relación ya conocida del estudio del movimiento circular $2\pi /\tau$ ${\ Displaystyle 2 \ pi / \ tau}$ $2 \ pi / \ tau$ permite llegar formalmente a la ecuación de ondas armónicas :

y=y_{\max }\,\cos(\omega t-kx)

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t-kx)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t-kx)

Si se hubiera agregado una fase de 90 ° a la expresión de coseno inicial, se habría obtenido una expresión de seno negativa ya que $\cos(\alpha +90)=\sin(-\alpha )$ ${\ Displaystyle \ cos (\ alpha +90) = \ sin (- \ alpha)}$ $\ cos (\ alpha + 90) = \ sin (- \ alpha)$ , y esto habría dado lugar a una expresión sinusoidal con los signos internos invertidos, es decir $y=y_{\max }\,\sin(kx-\omega t)$ ${\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ sin (kx- \ omega t)}$ $y = y _ {\ max} \, \ sin (kx- \ omega t)$ , que a veces se presenta en los textos.

Considerando el segundo caso de la lista anterior, a una hora fija:

y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ tau}} t \ right) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} x \ right)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ right) = y_ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x \ right)

Perfil de una onda sinusoidal progresiva que varía con el tiempo,

y=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{2\pi }}-{\frac {t}{2\pi }}\right)\right]

{\ Displaystyle y = \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {2 \ pi}} - {\ frac {t} {2 \ pi}} \ right) \ right]}

y = \ sin \ left [2 \ pi \ left (\ frac {x} {2 \ pi} - \ frac {t} {2 \ pi} \ right) \ right]

El tiempo se ha expresado como $t=x/v$ ${\ Displaystyle t = x / v}$ $t = x / v$ , sustituyendo y utilizando la relación fundamental de las ondas ${\mathit {\lambda =v\tau }}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {\ lambda = v \ tau}}}$ $\ mathit {\ lambda = v \ tau}$ (la longitud de onda es el espacio recorrido por una onda con velocidad de fase $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ en un período $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ ): en cualquier caso, lo que importa es que obtengamos un coseno de espacio período $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ depende solo de la posición $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . Si el impulso se mueve a lo largo del eje de abscisas, induciendo una oscilación en las ordenadas, en un determinado instante siguiente al que se fijó el punto en la determinada coordenada $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ tendrá una elevación igual a la del punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de donde partió el impulso $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ segundos antes. La onda luego se propaga (hacia la derecha) con un perfil dado por:

y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right]

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} (x-vt) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ lambda} (x-vt) \ right]

Considerando que debería haberse considerado una expresión entre paréntesis del tipo $(x+vt)$ ${\ Displaystyle (x + vt)}$ $(x + vt)$ si quisiéramos describir la propagación a la izquierda. Expresando ${\mathit {v={\frac {\lambda }{\tau }}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {v = {\ frac {\ lambda} {\ tau}}}}}$ $\ mathit {v = \ frac {\ lambda} {\ tau}}$ y reemplazando, tenemos la expresión:

y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{\tau }}\right)\right]

{\ Displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - {\ frac {t} {\ tau}} \ right) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left (\ frac {x} {\ lambda} - \ frac {t} {\ tau} \ right) \ right]

que considerando la relación goniométrica $\cos(-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)$ ${\ Displaystyle \ cos (- \ alpha) = \ cos \ left (\ alpha \ right)}$ $\ cos (- \ alpha) = \ cos \ left (\ alpha \ right)$ es análogo al obtenido anteriormente (porque se cambian los signos del argumento).

El parámetro A (amplitud) provoca una expansión a lo largo del eje y
El parámetro $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ (pulsación) provoca dilatación a lo largo del eje x
El parámetro $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (fase) provoca una traslación horizontal
El parámetro k provoca una traslación vertical

Bibliografía

( EN ) M. Abramowitz, IA Stegun, "Manual de funciones matemáticas", Dover, reimpresión (1972) pp. §4.3

Otros proyectos

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enlaces externos

( ES ) Yu.A. Gor'kov, Sinusoide , en Enciclopedia de Matemáticas , Springer y Sociedad Matemática Europea, 2002.
( ES ) Yu.A. Gor'kov, Sine , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer y European Mathematical Society, 2002.

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