Espacio de Estados

En estadística y física matemática , particularmente en mecánica racional y en la teoría de sistemas dinámicos , una representación en el espacio de estados , también conocida como representación en el espacio de fases , es una descripción de un sistema dinámico en el que se hace referencia particular a variables de estado de el sistema, que forman un espacio vectorial en el que se representa. La dimensión del espacio vectorial antes mencionado es igual al doble del número de grados de libertad del sistema; viceversa, un espacio vectorial que tenga una dimensión igual al número de grados de libertad podrá tener en cuenta solo el estado del sistema en un solo instante.

Espacio de configuración

Dado un sistema dinámico con $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ grados de libertad, el espacio vectorial generado por las coordenadas generalizadas $q_{i},\ i=1,\dots ,n$ ${\ Displaystyle q_ {i}, \ i = 1, \ dots, n}$ ${\ Displaystyle q_ {i}, \ i = 1, \ dots, n}$ se denomina espacio de configuración , dentro del cual todas las posiciones de un sistema se determinan unívocamente. En mecánica racional, por espacio de configuración usualmente nos referimos a una variedad que se puede diferenciar en el espacio de coordenadas generalizado, llamado variedad de configuración .

Estado o espacio de fase

Se llama espacio de estados, o espacio de fase , de un sistema con $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ grados de libertad el espacio cuyos puntos representan unívocamente todos y sólo los estados posibles del sistema. Por lo tanto, es la representación gráfica del espacio de estados y tiene un tamaño igual a $2n$ ${\ Displaystyle 2n}$ $2n$ . Generalmente, en mecánica racional, el espacio de estados es una variedad diferenciable, cuya dimensión es el doble del número de grados de libertad del sistema, además, se puede definir como el haz cotangente del espacio de configuración. En el espacio de fase, la evolución de un sistema dinámico discreto aparece como una sucesión de puntos, mientras que si el sistema dinámico es continuo se puede representar mediante una curva continua.

La elección de las coordenadas ^[1] utilizadas para generar el espacio de fase es crucial en la caracterización del sistema, en particular de algunas de sus magnitudes fundamentales, como, por ejemplo, la energía y sus ecuaciones de movimiento.

Ejemplos de

En la mecánica lagrangiana, el espacio de estados se define como el espacio de las coordenadas lagrangianas , es decir, los pares $(q_{i},{\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ Displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ Displaystyle (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ , donde el ${\dot {q}}_{i}$ ${\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ son las velocidades conjugadas a las coordenadas generalizadas $q_{i}$ ${\ Displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . La función que caracteriza la dinámica del sistema es la lagrangiana :

{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) = T (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) -U (\ mathbf {q})}

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) = T (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) -U (\ mathbf {q})}

Las ecuaciones de movimiento, obtenidas a partir del principio de mínima acción, son las ecuaciones de Euler-Lagrange :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0}

En la mecánica hamiltoniana, el espacio de fase se define como el espacio de coordenadas hamiltonianas , o pares $(q_{i},p_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ Displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ Displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ , donde $p_{i}$ ${\ Displaystyle p_ {i}}$ $Pi}$ son los momentos conjugados a las coordenadas generalizadas $q_{i}$ ${\ Displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . La energía total del sistema se caracteriza a través del hamiltoniano , que representa la transformada de Legendre del lagrangiano:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}

Las ecuaciones de movimiento se obtienen reescribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange con las nuevas coordenadas, en forma de ecuaciones de Hamilton :

{\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}=0

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ punto {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial \ mathbf {p}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ punto {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial \ mathbf {p}}} = 0}

Las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana no son las únicas posibles: Edward John Routh propuso un enfoque híbrido entre las dos formulaciones tradicionales de la mecánica racional. Dado un sistema mecánico con $m+l$ ${\ Displaystyle m + l}$ ${\ Displaystyle m + l}$ grados de libertad, cuyo espacio de configuración es generado por las coordenadas generalizadas $\left(q_{i},\zeta _{j}\right)_{\begin{aligned}&i=1,\dots ,m\\&j=1,\dots ,l\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j} \ right) _ {\ begin {alineado} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end { alineado}}}$ ${\ Displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j} \ right) _ {\ begin {alineado} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end { alineado}}}$ , donde $q_{i}$ ${\ Displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ los respectivos momentos conjugados están asociados $p_{i}$ ${\ Displaystyle p_ {i}}$ $Pi}$ , mientras que en $\zeta _{j}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {j}}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {j}}$ las respectivas velocidades generalizadas están asociadas ${\dot {\zeta }}_{j}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ zeta}} _ {j}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ zeta}} _ {j}}$ . ^[2] ^[3] Por lo tanto, el espacio de fase en consideración tendrá las coordenadas de Routh como generadores $\left(q_{i},\zeta _{j},p_{i},{\dot {\zeta }}_{j}\right)_{\begin{aligned}&i=1,\dots ,m\\&j=1,\dots ,l\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j}, p_ {i}, {\ dot {\ zeta}} _ {j} \ right) _ {\ begin {alineado} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end {alineado}}}$ ${\ Displaystyle \ left (q_ {i}, \ zeta _ {j}, p_ {i}, {\ dot {\ zeta}} _ {j} \ right) _ {\ begin {alineado} & i = 1, \ dots, m \\ & j = 1, \ dots, l \ end {alineado}}}$ , que permiten la definición de la función routhiana como la transformada de Legendre del lagrangiano, de forma completamente análoga a lo que ocurre para el hamiltoniano en coordenadas hamiltonianas:

{\mathcal {R}}\left(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}}\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} )-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}}\right)

{\ Displaystyle {\ mathcal {R}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}) - {\ mathcal {L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}} , \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {R}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {p}) - {\ mathcal {L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ boldsymbol {\ zeta}} , \ mathbf {p}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}} \ right)}

Dado que las coordenadas de Routh son un conjunto de coordenadas canónicas , permiten que las ecuaciones de Hamilton conserven su forma, pero, al mismo tiempo, las ecuaciones de Euler-Lagrange también son válidas para ellas:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial \mathbf {q} }}=0\qquad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial \mathbf {p} }}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0 \ qquad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {R}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q }}}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0 \ qquad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} \ qquad {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {R}}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0}

En general, el uso de coordenadas rutianas es particularmente ventajoso para sistemas en los que aparecen coordenadas cíclicas .

En la mecánica clásica, el espacio de fase generalmente representa todas las posibles posiciones , velocidades y momento de cualquier punto material . Por ejemplo, el espacio de estados de un péndulo simple con masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es un cilindro : hay un grado de libertad para la variable angular que identifica la posición y que se mueve en un círculo y un grado de libertad para la velocidad y el momento, que a priori puede variar a lo largo de una línea ilimitada .

Sistemas dinámicos

Un sistema dinámico genérico se puede escribir como:

{\begin{aligned}&\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {z} (t))\\&\mathbf {y} (t)=\mathbf {g} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {z} (t))\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ \ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {g} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ \ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {g} (t, \ mathbf {x} (t), \ mathbf {z} (t)) \ end {alineado}}}

Dónde está $\mathbf {x} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ mathbf x} (t)$ son las variables de estado y el término $\mathbf {z} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {z} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {z} (t)}$ es la entrada, que se omite en caso de que desee analizar la respuesta libre del sistema. La primera ecuación se llama ecuación de estado , mientras que la segunda es la ecuación de salida, donde la salida se denota con $\mathbf {y} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ . Uno mismo $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ es una combinación lineal de los estados de entrada, es decir, es lineal y de dimensión finita, la ecuación diferencial que la define se escribe frecuentemente en forma matricial y sus características pueden ser analizadas por la función de transferencia .

Combinando los diferentes métodos en el dominio de la frecuencia ( representación espectral de señales , método simbólico ) y el tiempo , el formalismo proporcionado por la representación de estados es una de las técnicas más extendidas para el análisis de sistemas dinámicos , especialmente los lineales .

En los circuitos eléctricos , por ejemplo, a menudo se piensa que el número de variables de estado es el mismo que el número de elementos capaces de almacenar energía, como condensadores e inductores .

Sistemas dinámicos lineales

El mismo tema en detalle: Sistema dinámico lineal .

En sistemas lineales estacionarios, el número mínimo de variables de estado es igual al grado del denominador de la función de transferencia después de que se ha reducido a una fracción propia. En particular, para el teorema fundamental del álgebra, el denominador tiene un número de ceros igual a su grado (los polos de la fracción). Los polos de la función de transferencia se utilizan generalmente para analizar la estabilidad del sistema. ^[4]

Una representación genérica en el dominio del tiempo de un sistema dinámico lineal con $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ entradas y $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ salidas y $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Las variables de estado se escriben de la siguiente forma: ^[5]

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

Dónde está $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ es el vector de estado, $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ es el vector de salida mientras $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {z} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {z} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ es el vector de entrada.

La matriz $A(\cdot )$ ${\ Displaystyle A (\ cdot)}$ $A (\ cdot)$ es la "matriz dinámica", con $\operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [A (\ cdot)] = n \ times n}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [A (\ cdot)] = n \ times n}$ , la matriz $B(\cdot )$ ${\ Displaystyle B (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle B (\ cdot)}$ es la "matriz de entrada", con $\operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [B (\ cdot)] = n \ times p}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [B (\ cdot)] = n \ times p}$ , la matriz $C(\cdot )$ ${\ Displaystyle C (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle C (\ cdot)}$ es la "matriz de salida", con $\operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [C (\ cdot)] = q \ times n}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [C (\ cdot)] = q \ times n}$ , Y $D(\cdot )$ ${\ Displaystyle D (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle D (\ cdot)}$ es la "matriz de enlace directo de entrada-salida" (en los casos en que el sistema no tenga dicho enlace, $D(\cdot )$ ${\ Displaystyle D (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle D (\ cdot)}$ es una matriz nula), con $\operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [D (\ cdot)] = q \ times p}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} [D (\ cdot)] = q \ times p}$ .

La variable de tiempo $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ puede ser continuo (es decir $t\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ ) o "justo" ( $t\in \mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {Z}}$ ), y en este caso a menudo se indica con $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ . Por lo tanto, la representación en el espacio de estados también puede tomar las formas:

Invariable en el tiempo continuo :

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

Variante de tiempo justo:

{\begin{aligned}&\mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {z} (k)\\&\mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {z} (k)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {x} (k + 1) = \ mathbf {A} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {B} (k) \ mathbf {z } (k) \\ & \ mathbf {y} (k) = \ mathbf {C} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {D} (k) \ mathbf {z} (k) \ final {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {x} (k + 1) = \ mathbf {A} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {B} (k) \ mathbf {z } (k) \\ & \ mathbf {y} (k) = \ mathbf {C} (k) \ mathbf {x} (k) + \ mathbf {D} (k) \ mathbf {z} (k) \ final {alineado}}}

Razonable invariante en el tiempo :

{\begin{aligned}&\mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k)+B\mathbf {z} (k)\\&\mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {z} (k)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {x} (k + 1) = A \ mathbf {x} (k) + B \ mathbf {z} (k) \\ & \ mathbf {y} (k ) = C \ mathbf {x} (k) + D \ mathbf {z} (k) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {x} (k + 1) = A \ mathbf {x} (k) + B \ mathbf {z} (k) \\ & \ mathbf {y} (k ) = C \ mathbf {x} (k) + D \ mathbf {z} (k) \ end {alineado}}}

Función de transferencia

La función de transferencia de un sistema LTI continuo se puede obtener calculando la transformada de Laplace de:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t)}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t)}

cual es:

s\mathbf {X} (s)-x(0)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {Z} (s)

{\ Displaystyle s \ mathbf {X} (s) -x (0) = A \ mathbf {X} (s) + B \ mathbf {Z} (s)}

{\ Displaystyle s \ mathbf {X} (s) -x (0) = A \ mathbf {X} (s) + B \ mathbf {Z} (s)}

Resolviendo con respecto a $\mathbf {X} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ :

(s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {Z} (s)+x(0)

{\ Displaystyle (s \ mathbf {I} -A) \ mathbf {X} (s) = B \ mathbf {Z} (s) + x (0)}

{\ Displaystyle (s \ mathbf {I} -A) \ mathbf {X} (s) = B \ mathbf {Z} (s) + x (0)}

a partir del cual:

\mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {Z} (s)+(s\mathbf {I} -A)^{-1}x(0)

{\ Displaystyle \ mathbf {X} (s) = (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} x (0)}

{\ Displaystyle \ mathbf {X} (s) = (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} x (0)}

Por reemplazo $\mathbf {X} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} (s)}$ en la ecuación de salida $\mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {Z} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C \ mathbf {X} (s) + D \ mathbf {Z} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C \ mathbf {X} (s) + D \ mathbf {Z} (s)}$ usted obtiene:

\mathbf {Y} (s)=C((s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {Z} (s)+(s\mathbf {I} -A)^{-1}x(0))+D\mathbf {Z} (s)

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C ((s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {-1} x (0)) + D \ mathbf {Z} (s)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s) = C ((s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B \ mathbf {Z} (s) + (s \ mathbf {I} -A) ^ {-1} x (0)) + D \ mathbf {Z} (s)}

Dado que la función de transferencia $\mathbf {G} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ se define como la relación entre la salida y la entrada del sistema, tenemos:

\mathbf {G} (s)=\mathbf {Y} (s)/\mathbf {Z} (s)

{\ Displaystyle \ mathbf {G} (s) = \ mathbf {Y} (s) / \ mathbf {Z} (s)}

{\ Displaystyle \ mathbf {G} (s) = \ mathbf {Y} (s) / \ mathbf {Z} (s)}

y reemplazando la expresión anterior de $\mathbf {Y} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} (s)}$ , considerando el sistema con condiciones iniciales cero ( $x(0)=0$ ${\ Displaystyle x (0) = 0}$ ${\ Displaystyle x (0) = 0}$ ):

\mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D

{\ Displaystyle \ mathbf {G} (s) = C (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B + D}

{\ Displaystyle \ mathbf {G} (s) = C (s \ mathbf {I} -A) ^ {- 1} B + D}

La matriz $\mathbf {G} (s)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} (s)}$ tiene tamaño $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ por $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ . Por lo tanto, para cada entrada hay $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ funciones de transferencia, es decir, una para cada salida.

Estabilidad

El mismo tema en detalle: Teoría de la estabilidad .

Estudiar las características de estabilidad y respuesta de un sistema lineal continuo invariante en el tiempo, es decir, lineal con matrices que son constantes en el tiempo, a partir de los valores propios de la matriz. $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ equivale a analizar su función de transferencia en el dominio de la frecuencia . Esto puede ser una fracción y aparecer, por ejemplo, en la forma:

{\textbf {G}}(s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

{\ Displaystyle {\ textbf {G}} (s) = k {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}}

{\ Displaystyle {\ textbf {G}} (s) = k {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}}

El denominador de la función es igual al polinomio característico encontrado al calcular el determinante de la matriz $sI-A$ ${\ Displaystyle sI-A}$ ${\ Displaystyle sI-A}$ :

\mathbf {\lambda } (s)=|sI-A|

{\ Displaystyle \ mathbf {\ lambda} (s) = | sI-A |}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ lambda} (s) = | sI-A |}

Las raíces del polinomio característico corresponden a los valores propios de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ , y son los polos de la fracción, las singularidades donde el módulo de la función de transferencia es ilimitado. Los polos se pueden utilizar, por ejemplo, para ver si el sistema es estable interna o externamente .

La estabilidad externa (estabilidad BIBO) consiste en la limitación de la salida si la entrada es limitada. Esto sucede si los polos inestables se cancelan por ceros durante el cálculo de la función de transferencia, es decir, sus singularidades son removibles.

Los ceros del numerador de ${\textbf {G}}(s)$ ${\ displaystyle {\ textbf {G}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {G}} (s)}$ en su lugar, se pueden usar de manera similar para determinar si el sistema es de fase mínima o no.

Controlabilidad

El mismo tema en detalle: controlabilidad , control automático e ingeniería de control .

La controlabilidad de un sistema implica la posibilidad, mediante el uso de una entrada admisible, de llevar su estado a cualquier valor final, a partir de cualquier valor inicial y en un tiempo finito. La controlabilidad de un sistema de tiempo continuo LTI se puede verificar mediante la condición de alcanzabilidad, ya que en estas condiciones las dos propiedades corresponden ^[6] :

\operatorname {rg} {\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n

{\ Displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}} = n}

{\ Displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} B & AB & A ^ {2} B & ... & A ^ {n-1} B \ end {bmatrix}} = n}

donde el rango de una matriz $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz.

Observabilidad

El mismo tema en detalle: Observabilidad y observador del estado .

La observabilidad cuantifica hasta qué punto es posible derivar el estado del sistema a partir de su salida. La observabilidad y controlabilidad de un sistema son matemáticamente duales , ^[7] el segundo nos dice que desde cualquier estado inicial pasamos a cualquier estado final y el primero que desde el conocimiento de la salida podemos volver al estado inicial del sistema. .

Un sistema continuo, y en este caso también discreto, ^[8] LTI es observable si y solo si

\operatorname {rg} {\begin{bmatrix}C\\CA\\...\\CA^{n-1}\end{bmatrix}}=n

{\ Displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ ... \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}} = n}

{\ Displaystyle \ operatorname {rg} {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ ... \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}} = n}

Realimentación

El mismo tema en detalle: Comentarios .

Un método común para describir la retroalimentación, en inglés , es multiplicar la salida del sistema a una matriz. $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ e ingrese al sistema:

\mathbf {z} (t)=K\mathbf {y} (t)

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = K \ mathbf {y} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = K \ mathbf {y} (t)}

Si el valor de $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ es negativo hay una retroalimentación negativa .

El sistema:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

se vuelve:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + BK \ mathbf {y} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + DK \ mathbf {y} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + BK \ mathbf {y} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + DK \ mathbf {y} (t) \ end {alineado}}}

resolver la ecuación de salida para $\mathbf {y} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ y entrando $\mathbf {y} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ en la ecuación de estado tenemos:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

La ventaja de este enfoque es que los valores propios de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ se puede controlar configurando $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ apropiadamente a través de la descomposición de $\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)$ ${\ Displaystyle \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (A + BK \ left (I-DK \ right) ^ {- 1} C \ right)}$ . Esto es posible si el sistema de bucle abierto es controlable o si todos los valores propios de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ se puede estabilizar.

Una simplificación común de este sistema asume $D.$ ${\ Displaystyle D}$ $D.$ nada y $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ igual a la identidad. De esta forma la ecuación se reduce a:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A + BK \ right) \ mathbf {x} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

Retroalimentación con señal de referencia de entrada

Si se agrega una señal adicional a la retroalimentación:

\mathbf {z} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = - K \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {r} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = - K \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {r} (t)}

el sistema:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {z} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {z} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {z} (t) \\ & \ mathbf { y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {z} (t) \ end {alineado}}}

se vuelve:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) -BK \ mathbf {y} (t) + B \ mathbf {r } (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) -DK \ mathbf {y} (t) + D \ mathbf {r} (t) \ end {alineado} }}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) -BK \ mathbf {y} (t) + B \ mathbf {r } (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) -DK \ mathbf {y} (t) + D \ mathbf {r} (t) \ end {alineado} }}

resolver la ecuación de salida para $\mathbf {y} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ y reemplazando la ecuación de estado tenemos:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ left (IK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ right) \ mathbf {r} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I + NS \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) + \ left (I + NS \ right) ^ {- 1} D \ mathbf {r} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} C \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ left (IK \ left (I + DK \ right) ^ {- 1} D \ right) \ mathbf {r} (t) \\ & \ mathbf {y} (t) = \ left (I + NS \ right) ^ {- 1} C \ mathbf {x} (t) + \ left (I + NS \ right) ^ {- 1} D \ mathbf {r} (t) \ end {alineado}}}

Una simplificación común es la eliminación del término $D.$ ${\ Displaystyle D}$ $D.$ , que reduce las ecuaciones a:

{\begin{aligned}&{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)\\&\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BKC \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {r} ( t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ left (A-BKC \ right) \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {r} ( t) \\ & \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) \ end {alineado}}}

Sistemas causales

Descripción del espacio de fase del movimiento caótico de un péndulo bajo la influencia de una fuerza externa.

Un sistema causal se describe por su propia función de transferencia, es decir, el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador y es estable. Es estrictamente correcto si el grado del numerador es menor que el grado del denominador y se puede representar como una fracción compleja:

{\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}

{\ Displaystyle {\ textbf {G}} (s) = {\ frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}}

{\ Displaystyle {\ textbf {G}} (s) = {\ frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}}

.

A menudo es posible escribir el sistema en la forma:

{\begin{aligned}{\dot {\textbf {x}}}(t)=&{\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {z}}(t)\\{\textbf {y}}(t)=&\ {\begin{bmatrix}\quad \!\!n_{1}&\quad \!\!n_{2}&\quad \!\!n_{3}&\quad \!\!n_{4}\ \ \end{bmatrix}}\,{\textbf {x}}(t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & - d_ {2} & - d_ {3} & - d_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y}} (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! n_ {1} & \ quad \! \! n_ {2} & \ quad \! \! n_ {3} & \ quad \! \! n_ {4} \ \ \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x}} (t) \ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & - d_ {2} & - d_ {3} & - d_ {4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y}} (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! n_ {1} & \ quad \! \! n_ {2} & \ quad \! \! n_ {3} & \ quad \! \! n_ {4} \ \ \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x}} (t) \ end {alineado}}}

.

dicha forma canónica de controlador porque la controlabilidad está garantizada para el sistema resultante.

Escritura (dual):

{\begin{aligned}{\dot {\textbf {x}}}(t)=&{\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {z}}(t)\\{\textbf {y}}(t)=&\ {\begin{bmatrix}\quad \!\!1&\quad \!\!0&0&0\,\,\end{bmatrix}}\,{\textbf {x}}(t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - d_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - d_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - d_ {4} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\ n_ {4} \ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y} } (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! 1 & \ quad \! \! 0 & 0 & 0 \, \, \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x} } (t) \ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ textbf {x}}} (t) = & {\ begin {bmatrix} -d_ {1} & 1 & 0 & 0 \\ - d_ {2} & 0 & 1 & 0 \\ - d_ {3} & 0 & 0 & 1 \\ - d_ {4} & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ textbf {x}} (t) + {\ begin {bmatrix} n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\ n_ {4} \ end {bmatrix}} {\ textbf {z}} (t) \\ {\ textbf {y} } (t) = & \ {\ begin {bmatrix} \ quad \! \! 1 & \ quad \! \! 0 & 0 & 0 \, \, \ end {bmatrix}} \, {\ textbf {x} } (t) \ end {alineado}}}

.

en cambio, se llama la forma canónica de observador .

Nota

^ Cabe recordar que las coordenadas generalizadas son función del tiempo, por lo que las funciones dependientes de ellas siempre tienen una dependencia temporal implícita . Si estas funciones varían con respecto al tiempo independientemente de las coordenadas generalizadas, hablamos de dependencia explícita del tiempo.
^ Goldstein , pág. 352 .
^ Landau y Lifšic , p. 134 .
^ Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 4.7 pag. 249 .
^ Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 2 pag. 31.
^ Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 5 pag. 272.
^ Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 6 pag. 364.
^ Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 6 pag. 341.

Bibliografía

E. Fornasini, G. Marchesini Appunti di teoria dei sistemi, Ed progetto Padova, 2013
OM Grasselli, L. Menini e S. Galeani, Sistemi dinamici - Introduzione all'analisi e primi strumenti di controllo , 2008.
( EN ) H. Goldstein, Classical Mechanics , 2ª ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 1980, pp. 352 –353, ISBN 0201029189 .
( EN ) LD Landau e EM Lifšic , Mechanics , 3ª ed., Butterworth Heinemann, p. 134, ISBN 9780750628969 .
( EN ) Antsaklis, PJ and Michel, AN 2007. A Linear Systems Primer , Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4661-5 .
( EN ) Chen, Chi-Tsong 1999. Linear System Theory and Design , 3rd. ed., Oxford University Press. ISBN 0-19-511777-8 .
( EN ) Khalil, Hassan K. 2001 Nonlinear Systems , 3rd. ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7 .
( EN ) Nise, Norman S. 2004. Control Systems Engineering , 4th ed., John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-44577-0 .
( EN ) Hinrichsen, Diederich and Pritchard, Anthony J. 2005. Mathematical Systems Theory I, Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness . Springer. ISBN 3-540-44125-5 .
( EN ) Sontag, Eduardo D. 1999. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition . Springer. ISBN 0-387-98489-5 ( available free online ).
( EN ) Friedland, Bernard. 2005. Control System Design: An Introduction to State Space Methods . Dover. ISBN 0-486-44278-0 .
( EN ) Zadeh, Lofti A. and Desoer, Charles A. 1979. Linear System Theory , Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-809-1 .
( EN ) Durbin, J. and S. Koopman (2001). Time series analysis by state space methods . Oxford University Press, Oxford.
( EN ) Gerald Sussman, Structure and interpretation of classical mechanics , Cambridge, Mass, MIT Press, 2001, ISBN 0-262-19455-4 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

Andrea Carati, Luigi Galgani - Le equazioni di Hamilton e lo spazio delle fasi ( PDF ), su mat.unimi.it .
( EN ) Intuitive Explanation of Classical Configuration Spaces .
( EN ) Interactive Visualization of the C-space for a Robot Arm with Two Rotational Links from UC Berkeley.
( EN ) Configuration Space Visualization from Free University of Berlin

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[1] Cabe recordar que las coordenadas generalizadas son función del tiempo, por lo que las funciones dependientes de ellas siempre tienen una dependencia temporal implícita . Si estas funciones varían con respecto al tiempo independientemente de las coordenadas generalizadas, hablamos de dependencia explícita del tiempo.

[2] Goldstein , pág. 352 .

[3] Landau y Lifšic , p. 134 .

[4] Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 4.7 pag. 249 .

[5] Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 2 pag. 31.

[6] Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 5 pag. 272.

[7] Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 6 pag. 364.

[8] Grasselli, Menini y Galeani , capítulo 6 pag. 341.

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