Espacio euclidiano

Cada punto del espacio euclidiano tridimensional está determinado por tres coordenadas.

En matemáticas , un espacio euclidiano es un espacio afín en el que se mantienen los axiomas y postulados de la geometría euclidiana . ^[1] es el espacio de todos los n -uples de números reales , que está provisto de un verdadero interior producto ( producto escalar ) para definir los conceptos de distancia , longitud y ángulo . ^[2] Es un ejemplo particular de un espacio afín real que proporciona una generalización de los espacios bidimensionales y tridimensionales estudiados por la geometría euclidiana. El espacio euclidiano es un espacio real de Hilbert de dimensión finita.

Espacio $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Dado el campo $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ de números reales , sea n un número natural . Una n-tupla de números reales es una secuencia (es decir, un conjunto ordenado) $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ de n números reales. El espacio de todas las n- tuplas de números reales forma un espacio vectorial de dimensión n en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , indicado con $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Las operaciones de suma y producto a escala están definidas por:

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

{\ Displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}

{\ mathbf {x}} + {\ mathbf {y}} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})

a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})

{\ Displaystyle a \, \ mathbf {x} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})}

a \, {\ mathbf {x}} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})

Bases de espacios vectoriales

Mismo tema en detalle: Básico (álgebra lineal) .

Una base de espacio $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ que tiene varias ventajas es su denominada base canónica :

\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)

\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)

\vdots

{\ Displaystyle \ vdots}

\ vdots

\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)}

{\ mathbf {e}} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)

Un vector arbitrario en $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ por lo tanto, se puede escribir en la forma:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

{\ mathbf {x}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} {\ mathbf {e}} _ {i}

Espacio $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ es el prototipo de un espacio vectorial real en la dimensión n : de hecho, cada espacio vectorial $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ de dimensión n es isomorfo a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Se observa que no se impone un isomorfismo canónico : la elección de un isomorfismo entre $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Y $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ es equivalente a elegir una base para $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ . Sin embargo, en muchas fases del desarrollo del álgebra lineal, los espacios vectoriales de dimensión n se estudian en abstracto, porque muchas consideraciones son más simples y más esenciales si se llevan a cabo sin hacer referencia a una base particular.

Estructura euclidiana

El espacio euclidiano es más que un espacio vectorial. Para obtener la geometría euclidiana se debe poder hablar de distancias y ángulos , comenzando por la distancia entre dos puntos y el ángulo formado por dos líneas o por dos vectores. La forma intuitiva de hacer esto es mediante la introducción de lo que se llama un producto escalar estándar en $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Este producto, si los transportistas $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Y $\mathbf {y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ se refieren a la base canónica definida anteriormente, se define por

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}}

{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}

El espacio de n- tuplas de números reales enriquecido con el producto escalar, una función que tiene dos n- tuplas de reales $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Y $\mathbf {y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ asocia un número real, constituye una estructura más rica que $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ llamado "espacio euclidiano" n- dimensional. Para distinguirlo del espacio vectorial de n- tuplas reales generalmente se denota con $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ .

El producto escalar le permite definir una "longitud" no negativa para cada vector $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ de $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ De la siguiente manera:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i}) ^ {2}}}}

\ | {\ mathbf {x}} \ | = {\ sqrt {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}}}} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} (x_ {i}) ^ {2}}}

Esta función de longitud satisface las propiedades requeridas para una norma y se llama norma euclidiana o norma pitagórica en $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . La esquina (adentro) $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ entre dos vectores $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Y $\mathbf {y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ de $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ por tanto, se define como:

\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)

{\ Displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}} {\ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |}} \ Derecha)}

\ theta = \ arccos \ left ({\ frac {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}}} {\ | {\ mathbf {x}} \ | \ | {\ mathbf {y}} \ |}} \ derecha)

Dónde está $\arccos$ ${\ Displaystyle \ arccos}$ $\ arccos$ es la función arcocoseno .

Con estas definiciones la base canónica del espacio vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ se convierte en una base ortonormal para el espacio euclidiano obtenido al enriquecerlo con el producto escalar estándar.

En este punto, puede usar el estándar para definir una distancia (o métrica) sobre la función $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ De la siguiente manera:

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

{\ Displaystyle d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}

d ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = \ | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {y}} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}

La forma de esta función de distancia se basa en el teorema de Pitágoras y se denomina métrica euclidiana .

Cada espacio euclidiano constituye, por tanto, un ejemplo (dimensión finita) de espacio de Hilbert (va espacio prehilbertiano ), de espacio normado y de espacio métrico .

Cabe señalar que en muchos contextos, el espacio euclidiano de n dimensiones se denota con $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , dando por sentada la estructura euclidiana. De hecho, para muchos fines aplicativos la distinción que se ha realizado no tiene consecuencias graves y la identificación antes mencionada debe considerarse un abuso del lenguaje venial. De hecho, las nociones de subespacio y transformación lineal se pueden introducir en los espacios euclidianos sin complicaciones en comparación con lo que se hizo para los espacios vectoriales.

También se observa que cada subespacio vectorial $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ de dimensión m (< n ) de $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ es isométrico al espacio euclidiano $E^{m}$ ${\ Displaystyle E ^ {m}}$ $E ^ {m}$ , pero no de forma canónica: para establecer una correspondencia que se pueda utilizar para los cálculos, es necesario elegir una base ortonormal para $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ y esto, si en $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ ningún vector de la base canónica de $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ , no puede utilizar ningún elemento de esa base.

Generalización sobre complejos

El mismo tema en detalle: espacio prehilbertiano .

Junto a los espacios euclidianos reales es posible introducir sus variantes en números complejos, enriqueciendo el espacio vectorial n- dimensional del campo complejo con un producto interno llamado hermitiano que consiste en una forma sesquilínea .

En este caso el producto escalar entre vectores se define con la expresión:

(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}

{\ Displaystyle (x, y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} ^ {*}}

(x, y) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i}} ^ {{*}}

La propiedad reflexiva de esta composición se convierte en:

(x,y)=(y,x)^{*}

{\ Displaystyle (x, y) = (y, x) ^ {*}}

(x, y) = (y, x) ^ {*}

y para la multiplicación por un escalar tenemos:

(x,\lambda y)=\lambda ^{*}(x,y)

{\ Displaystyle (x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)}

(x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)

Topología euclidiana

Dado que el espacio euclidiano es un espacio métrico , también se puede considerar un espacio topológico que lo dota de la topología natural inducida por la métrica. Esto se puede hacer definiendo como base de conjuntos abiertos el conjunto de bolas abiertas, conjuntos de puntos que son menores que un real positivo fijo (radio de la bola) desde un punto dado. A través de estos conjuntos abiertos definimos todas las nociones que se necesitan para la topología métrica su $E^{n}$ ${\ Displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ . Esto se llama topología euclidiana y es equivalente a la topología del producto en $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ considerado como el producto de n copias de la línea real $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ con su topología habitual.

Con la "instrumentación" de los espacios vectoriales topológicos, los espacios euclidianos son capaces de proporcionar los entornos en los que desarrollar sistemáticamente numerosas nociones de análisis matemático , geometría euclidiana , geometría diferencial y física matemática clásica.

Invariancia de dominio

Un resultado importante para la topología de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ es la invariancia de los dominios de Brouwer . Cada subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (con su topología subespacial ), homeomórfico a otro subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , está en sí mismo abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ no es un homeomorfo $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ uno mismo $m\neq n$ ${\ Displaystyle m \ neq n}$ $m \ neq n$ - un resultado intuitivamente "obvio" pero difícil de probar rigurosamente.

Variedad y estructuras exóticas

El espacio euclidiano es el prototipo de variedad topológica y también de variedad diferenciable . Los dos conceptos coinciden en general, excepto en la dimensión 4: como muestran Simon Donaldson y otros, es posible asignar al conjunto $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ de "exóticas estructuras diferenciales", que hacen del espacio topológico $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ no difeomorfo al espacio estándar.

Nota

^ Enciclopedia Británica - Espacio euclidiano
^ Edoardo Sernesi, Geometría 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

Bibliografía

Serge Lang, Álgebra lineal , Turín, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) WW Rouse Ball ,Breve descripción de la historia de las matemáticas , 4th, Dover Publications, 1960 [1908] , págs. 50 –62, ISBN 0-486-20630-0 .
( ES ) M. Berger, Geometría , I , Springer (1987)

enlaces externos

( EN ) Espacio euclidiano , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) ED Solomentsev, Euclidean space , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

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[1] Enciclopedia Británica - Espacio euclidiano

[2] Edoardo Sernesi, Geometría 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

[1]

[2]

V · D · M Álgebra lineal
Espacio vectorial	Portadora · subespacio ( subespacio generado ) · Aplicación lineal ( Núcleo · Imagen ) · Base · Tamaño · Teorema de tamaño · Fórmula de Grassmann · Sistema lineal · Algoritmo de Gauss · Teorema de Rouché-Capelli · Regla de Cramer · Espacio dual · Espacio proyectivo · Espacio afín · Dimensión teorema para espacios vectoriales
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