Temperatura de Planck

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Temperatura de Planck
Información general
Sistema pag.
Tamaño temperatura
Símbolo T P
Epónimo Max Planck
Conversiones
1 T P en ... ...equivalente a...
Unidad SI1.41679 × 10 32 K

La temperatura de Planck es la unidad de medida de Planck que representa la unidad natural de medida de la temperatura , generalmente denotada por T P.

Como muchas de las unidades de medida de Planck, constituye un límite insuperable: la temperatura más alta permitida por la mecánica cuántica . Se cree que es la temperatura a la que se evapora un agujero negro y la temperatura inicial del Big Bang , según el modelo estándar de cosmología .

Definición

La temperatura de Planck se define como la correspondiente a la masa de Planck (hasta constantes):

= 1.41679 × 10 32 K

Dónde está:

Se puede deducir de las leyes de la mecánica clásica partiendo de que un oscilador armónico ideal (sin disipación) en equilibrio térmico con un gas ideal a una temperatura encerrado en una caja con paredes perfectamente reflectantes y sin fricción, tiene una energía total de movimiento (energía cinética + energía potencial) igual a :

Esta afirmación es cierta y puede ser probada por las leyes de la mecánica clásica (fue probada por primera vez por Boltzmann ) y posteriormente confirmada por la mecánica cuántica. [1]

Poniendo esta energía igual a la masa de Planck para lo obtienes por la temperatura deseada:

Para un oscilador armónico en equilibrio térmico que intercambia fotones de frecuencia Existe la probabilidad de que se genere un agujero negro cada vez que se intercambia un cuanto de energía. y una frecuencia más alta violaría la relatividad general de Einstein (ver longitud de Planck ). Es por eso que la temperatura de Planck es un límite superior.

En teoría, sería posible calentar un cuerpo a la temperatura de Planck y, en consecuencia, emitiría su radiación de cuerpo negro, pero en este caso los resultados predichos por la distribución espectral del cuerpo negro (especialmente de corolarios como la Ley de Wien ) sugieren que a la temperatura de Planck hay que recurrir a un análisis más escrupuloso y algo más profundo.

Para ser consciente de esto, considere, en primer lugar, una caja perfectamente cerrada, con paredes perfectamente reflectantes en la que hay un montón de osciladores en equilibrio térmico a la temperatura calculada con la fórmula anterior y calcule la energía promedio para la frecuencia angular de Planck. . Como se sabe, la fórmula de la energía media para la frecuencia viene dado por [1] :

Observe que la temperatura de Planck obtenida anteriormente está estrechamente relacionada con del informe:

Una vez realizadas las sustituciones adecuadas, obtenemos que:

El número medio de fotones para el modo está dado por:

Que son relativamente pocos. Lógicamente, se podría pensar que al ser extremadamente energético, pocos son suficientes para mantener el equilibrio térmico, pero también debe tenerse en cuenta que a niveles de energía similares los osciladores armónicos ciertamente no son átomos individuales: la materia debe desmembrarse en las unidades fundamentales existentes en la escala de Planck , para la que aún no existen modelos adecuados.

En segundo lugar, observe que un cuerpo negro en equilibrio térmico a la temperatura de Planck debería irradiar su energía principalmente en la siguiente longitud de onda (el modo de distribución obtenido aplicando la ley de Wien ):

Y en la frecuencia:

Estos valores están cerca de las unidades de Planck, pero evidentemente distantes. Parece extraño que el máximo de emisión no se produzca en la frecuencia angular de Planck (o en la longitud de Planck, si lo prefiere). Debe tenerse en cuenta, de hecho, que solo una frecuencia específica corresponde a una temperatura de equilibrio dada y si la temperatura de Planck, la longitud de Planck y la frecuencia angular de Planck son límites insuperables, la Ley de Wien que es la derivada de la distribución espectral del cuerpo negro. debería unificarlos.

Además, la función de distribución espectral es positiva y continua incluso para frecuencias mayores que la de Planck. La última posibilidad está prohibida por la relatividad general de Einstein. Dichos fotones no pueden manifestarse físicamente, pero la distribución les asigna una probabilidad de existir distinta de cero.

A continuación intentaremos dar respuesta a las preguntas anteriores, aunque se entienda que para ser exhaustivo sería necesario contar con una teoría que explique de manera coherente los fenómenos que ocurren en la escala de Planck .

Dado que la relatividad general prohíbe la existencia de fotones con una frecuencia superior a , supongamos que no existen, por lo que es razonable pensar que cada frecuencia físicamente posible es un submúltiplo real de la frecuencia de Planck . En resumen, se asumirá cada frecuencia es igual a con:

obviamente:

La distribución espectral del cuerpo negro a la temperatura de Planck viene dada por la fórmula:

Representa la intensidad de la radiación emitida en el rango de frecuencia .

Considerado , el hecho de que y el hecho de que:

le permite reescribir la fórmula de la siguiente manera:

después de colocar:

Los dos primeros términos son constantes, por lo tanto, podemos centrarnos en la función in que está en el tercer término, descuidando . Calcule su primera derivada y estudie su signo para :

En el denominador desaparece, pero en una vecindad derecha de cero permanece positivo. Además, la singularidad de la primera derivada se puede eliminar, de hecho, eligiendo un no cero en una vecindad derecha de cero tenemos:

Al aplicar la regla de l'Hôpital a la primera fracción, converge a cero y la segunda sufre un destino similar. Aplicándole la misma regla, de hecho, tenemos:

Volver a aplicarlo conduce a:

que también converge a cero.

Extendiéndose por continuidad en y considerado el signo de los factores involucrados, para encontrar la solución de la mencionada desigualdad es suficiente estudiar el signo del numerador que, dividido por y para 3, siempre positivo, se reduce a estudiar la desigualdad:

A partir de simples observaciones geométricas es posible observar que la línea:

la curva es secante , ya que su coeficiente angular (-1/3) es diferente al de la tangente ad en el punto (-1). Se cruza con el eje de abscisas para , Dónde está vale la pena . En este punto, por lo tanto, está por encima de la línea. Pero para la tarifa es 2/3 ed vale 1 / e. Siempre y cuando:

La linea esta arriba y así permanece hasta

En conclusión: la distribución espectral del cuerpo negro siempre aumenta para (condición necesaria para la existencia física de los fotones involucrados), por lo tanto, la Ley de Wien no es válida y la emisión máxima se alcanza para , es decir, a la frecuencia angular de Planck (y por lo tanto a la longitud de Planck). Por tanto, se restablece la condición que unifica la distribución espectral del cuerpo negro con la frecuencia y longitud de Planck: un cuerpo negro hipotético a la temperatura de Planck alcanza el máximo de emisión a la frecuencia de Planck .

Llegados a este punto resulta lógico preguntarse a qué temperaturas vuelven válidas la Ley de Wien y la admisibilidad de fotones y comenzaremos observando que la temperatura de Planck es extrema al igual que la frecuencia angular de Planck y la longitud de Planck. Por tanto, es lógico pensar que cada temperatura T es un submúltiplo real de la temperatura de Planck, por lo tanto:

con

Al reescribir adecuadamente la distribución espectral del cuerpo negro para tener en cuenta la variabilidad de la temperatura, obtenemos que:

Derivando para también en este caso y estudiando el signo llegamos a la siguiente desigualdad:

Para lo cual son válidas consideraciones similares a las hechas anteriormente, pero la intersección del eje de abscisas ahora ocurre para y este punto tiende a 1 cuando tiende a 1/3 desde la derecha.

Obsérvese que para las condiciones previamente establecidas, un fotón para ser "admisible", y por lo tanto no violar la relatividad general , debe respetar la condición: , con y la condición:

es precisamente lo que, en cierto sentido, prohíbe la existencia de fotones "inadmisibles" y hace que la Ley de Wien siga siendo válida (asumiendo que ), entendiéndose que la distribución espectral aún asigna, a tales fotones, ¡la posibilidad de existir! Pero, ¿qué conclusiones se pueden sacar cuando supera el valor anterior? El punto de intersección tenderá a acercarse a 3 desde la izquierda y aparecerán fotones "inadmisibles" (para los cuales ). La ley de Wien, en cierto punto, comenzará a expresar su máximo antes para , luego se moverá a la región de inadmisibilidad de fotones ( ). Mientras tanto, se alcanza la temperatura de Planck, pero la emisión máxima observable en todo este proceso de aumento de temperatura siempre permanecerá en la frecuencia de Planck, como si la energía insertada adicional fuera "succionada" (tenga en cuenta que el máximo de emisión, derivado de la Ley de Wien , se alcanza en la región de "inadmisibilidad", donde ). Cabe destacar que todo este proceso tiene lugar en condiciones en las que la relatividad general contrasta con la mecánica cuántica , a menos que intervenga algún mecanismo de la naturaleza que impida que un fotón se comporte de forma tan absurda o que las dos teorías en examen sean solo aproximaciones. de algo más profundo (que es más probable).

Esto sugiere un hecho que, en principio, podría resolver el problema: la energía adicional insertada también agrega más masa en un espacio, hipotéticamente, confinado (el cuerpo negro calentado) y esto se convierte en una espuma burbujeante de "mini agujeros negros" donde solo la gravedad cuántica puede dar respuestas. Quizás, fenómenos como los descritos anteriormente ocurren en los núcleos de estrellas que colapsan gravitacionalmente y se convierten en agujeros negros.

Sin embargo, es bueno subrayar que lo anterior representa sólo un "empujón al límite", una fórmula para resaltar "qué cosas no funcionan" y tratar de captar las semillas de una teoría más profunda. Como se puede ver, hay algunas cosas que "no funcionan", por otro lado, se asumió en los cálculos que el espacio sigue siendo un "continuo inmutable", en realidad, la adición de energía afecta el campo gravitacional. y, por tanto, también sobre el espacio y éste es uno de los principales puntos de desacuerdo entre la mecánica cuántica y la relatividad.

También debe tenerse en cuenta que la fórmula de temperatura de Planck es análoga (menos un factor ) a la de la radiación de Hawking procedente de un agujero negro de Schwarzschild con una masa igual a la masa de Planck (que se definirá como " agujero negro de Planck "). Esto reforzaría la hipótesis de que es la temperatura del "destello final" de un agujero negro inmediatamente antes de que finalmente sea consumido por el proceso cuántico de evaporación y, quizás, la temperatura inicial del Big Bang .

Además, según Hawking , un agujero negro de Planck se evaporaría en un tiempo igual a:

esto reforzaría aún más la hipótesis del "burbujeo" de mini agujeros negros en la estructura del espacio en la escala de Planck .

Nota

  1. ^ a b Física de Feynman , Vol. I, par. 42-5: Leyes de radiación de Einstein (ver Bibliografía ).

Bibliografía

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