Unidad imaginaria

En matemáticas la unidad imaginaria $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ (a veces representado por la letra griega iota $\iota$ ${\ Displaystyle \ iota}$ $\iota$ ) le permite ampliar el campo de los números reales $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ al campo de los números complejos $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ . La unidad imaginaria se caracteriza por ser un número cuyo cuadrado es igual a $-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$ .

En ingeniería eléctrica , la unidad imaginaria siempre está representada por la letra $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ , desde la carta $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ ya se utiliza para indicar la intensidad actual .

La necesidad de ampliar el campo de los números reales. $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ surge del hecho de que no es posible en este campo calcular la raíz cuadrada de un número negativo y, de manera más general, que no todas las ecuaciones polinómicas $f(x)=0$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ tienen una solución . En particular la ecuación $x^{2}+1=0$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ $x ^ {2} + 1 = 0$ no tiene soluciones reales. Pero, si nos fijamos en números complejos, entonces esa ecuación, y de hecho todas las ecuaciones polinomiales $f(x)=0$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ , Dónde está $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es un polinomio con coeficientes reales o complejos, tienen al menos una solución: este hecho se llama teorema fundamental del álgebra , y formalmente dice que $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ es el cierre algebraico de $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Definición

Por definición, la unidad imaginaria $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ es una solución de la ecuación

x^{2}+{1}={0}.

{\ Displaystyle x ^ {2} + {1} = {0}.}

x ^ {{2}} + {1} = {0}.

El anillo $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ (que es un campo ya que el polinomio $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ es irreductible en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ) Y $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ resultan ser isomorfos como espacios vectoriales en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ a través del isomorfismo $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ que envía $a+bx$ ${\ Displaystyle a + bx}$ $a + bx$ en $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . En este sentido, la unidad imaginaria no es otra cosa que la imagen de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ de acuerdo a $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ y tu tienes $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} [i].$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {R} [i].}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {R} [i].}$

Las operaciones con números reales se pueden extender a números complejos considerando $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ como una cantidad desconocida al manipular expresiones, y luego usar la definición para reemplazar $i^{2}$ ${\ Displaystyle i ^ {2}}$ $yo ^ {2}$ con $-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$ .

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ Y $-i$ ${\ Displaystyle -i}$ $-los$

La ecuacion $x^{2}+1=0$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ $x ^ {2} + 1 = 0$ tiene, en efecto, dos soluciones distintas que son opuestas. Más precisamente, una vez que se ha establecido una solución $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ de la ecuación, entonces $-i(\neq i)$ ${\ Displaystyle -i (\ neq i)}$ $-i (\ neq i)$ también es una solución. Dado que la ecuación en sí es la única definición de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , parece que esta definición es ambigua (más precisamente, no está bien definida ). Pero no hay ambigüedad una vez que elige una solución y la arregla, indicándola con $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ .

Esta consideración es sutil. Una explicación más precisa es afirmar que aunque el campo complejo definido como $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ es única excepción de isomorfismos , que no es única excepción de un único isomorfismo. De hecho, hay exactamente dos automorfismos de $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)}$ $\ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)$ , la identidad y el automorfismo que envía $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en $-x$ ${\ Displaystyle -x}$ $-X$ . Tenga en cuenta que estos no son solo los únicos automorfismos en el campo $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ , pero son los únicos automorfismos en el campo $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ que fijan cualquier número real. Ver las entradas conjugar complejo y grupo de Galois .

Surge un problema similar si los números complejos se interpretan como matrices reales $2\times 2$ ${\ Displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ por 2$ , porque las dos matrices siguientes

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\mbox{ e }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ mbox {e}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix }}}

{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ mbox {e}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}

son soluciones de la ecuación $x^{2}=-1$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = - 1}$ $x ^ 2 = -1$ . En este caso, la ambigüedad se debe a la elección realizada con respecto a la "dirección positiva" en la que se atraviesa la circunferencia de la unidad . Una explicación más precisa es la siguiente: el grupo de automorfismos del grupo ortogonal especial $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ mathrm {SO}} (2, {\ mathbb {R}})$ tiene exactamente dos elementos: identidad y automorfismo que intercambia rotaciones en sentido horario en rotaciones en sentido antihorario.

Advertencia

A veces, la unidad imaginaria se escribe como ${\sqrt {-1}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ ${\ sqrt {-1}}$ , pero hay que tener mucho cuidado al manipular fórmulas que contienen radicales. Esta notación está reservada para la función raíz cuadrada principal, que se define solo para números reales $x\geq 0$ ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ $x \ geq 0$ , oa la parte principal de la función de raíz cuadrada compleja. Aplicar las propiedades de las raíces cuadradas principales (reales) a la rama principal de raíces cuadradas complejas produce resultados incorrectos:

{-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {({-1})\cdot ({-1})}}={\sqrt {1}}=1.

{\ Displaystyle {-1} = i \ cdot i = {\ sqrt {-1}} \ cdot {\ sqrt {-1}} = {\ sqrt {({-1}) \ cdot ({-1}) }} = {\ sqrt {1}} = 1.}

{-1} = i \ cdot i = {\ sqrt {{-1}}} \ cdot {\ sqrt {{-1}}} = {\ sqrt {({-1}) \ cdot ({-1} )}} = {\ sqrt {1}} = 1.

De hecho la regla

{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}},

{\ Displaystyle {\ sqrt {a}} \ cdot {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {a \ cdot b}},}

{\ sqrt {a}} \ cdot {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {a \ cdot b}},

es válido solo para valores de $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ real y no negativo.

Para evitar cometer errores al manipular números complejos, la mejor estrategia es nunca usar un número negativo debajo de un signo de raíz cuadrada que no esté precedido por $\pm$ ${\ Displaystyle \ pm}$ $\ pm$ , para dar a entender que se consideran ambas raíces.

Poderes de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$

Los poderes de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ se repiten periódicamente (son cíclicos con punto $4$ ${\ Displaystyle 4}$ $4$ ):

i^{-3}=i

{\ Displaystyle i ^ {- 3} = i}

yo ^ {{- 3}} = yo

i^{-2}={-1}

{\ Displaystyle i ^ {- 2} = {- 1}}

i ^ {{- 2}} = {- 1}

i^{-1}={-i}

{\ Displaystyle i ^ {- 1} = {- i}}

i ^ {{- 1}} = {- i}

i^{0}=1

{\ Displaystyle i ^ {0} = 1}

i ^ {0} = 1

i^{1}=i

{\ Displaystyle i ^ {1} = i}

yo ^ {1} = yo

i^{2}={-1}

{\ Displaystyle i ^ {2} = {- 1}}

i ^ {2} = {- 1}

i^{3}={-i}

{\ Displaystyle i ^ {3} = {- i}}

i ^ {3} = {- i}

i^{4}={1}

{\ Displaystyle i ^ {4} = {1}}

i ^ {4} = {1}

i^{5}=i

{\ Displaystyle i ^ {5} = i}

yo ^ {5} = yo

i^{6}={-1}

{\ Displaystyle i ^ {6} = {- 1}}

i ^ {6} = {- 1}

Esta propiedad se puede expresar en una forma más compacta como esta, donde $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ es cualquier número entero:

i^{4n}=1

{\ Displaystyle i ^ {4n} = 1}

i ^ {{4n}} = 1

i^{4n{+1}}=i

{\ Displaystyle i ^ {4n {+1}} = i}

i ^ {{4n {+1}}} = i

i^{4n{+2}}=-1

{\ Displaystyle i ^ {4n {+2}} = - 1}

i ^ {{4n {+2}}} = - 1

i^{4n{+3}}=-i

{\ Displaystyle i ^ {4n {+3}} = - i}

i ^ {{4n {+3}}} = - yo

Raíces de la unidad imaginaria

Las dos raíces cuadradas de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ (es decir, las dos soluciones de la ecuación $z^{2}=i$ ${\ Displaystyle z ^ {2} = i}$ ${\ Displaystyle z ^ {2} = i}$ ) son complejos, derivados de la expresión: ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {i}} = \ pm {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ sqrt {i}} = \ pm {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}}$ . Esto se puede verificar de la siguiente manera:

$\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}\$ ${\ Displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} \ right) ^ {2} \}$ $\ left (\ pm {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2} \$	$=\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$ ${\ Displaystyle = \ left (\ pm {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) ^ {2} (1 + i) ^ {2} \}$ $= \ izquierda (\ pm {\ frac {1} {{\ sqrt {2}}}} \ derecha) ^ {2} (1 + i) ^ {2} \$
	$=(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)^{2}\$ ${\ Displaystyle = (\ pm 1) ^ {2} {\ frac {1} {2}} (1 + i) ^ {2} \}$ $= (\ pm 1) ^ {2} {\ frac {1} {2}} (1 + i) ^ {2} \$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\$ ${\ Displaystyle = {\ frac {1} {2}} (1 + 2i + i ^ {2}) \}$ $= {\ frac {1} {2}} (1 + 2i + i ^ {2}) \$
	$={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\$ ${\ Displaystyle = {\ frac {1} {2}} + i - {\ frac {1} {2}} \}$ $= {\ frac {1} {2}} + i - {\ frac {1} {2}} \$
	$=i\$ ${\ Displaystyle = i \}$ $= yo \$

Para $-i$ ${\ Displaystyle -i}$ $-los$ la raíz cuadrada será la de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ multiplicado por la propia unidad imaginaria. Por lo tanto:

{\sqrt {-i}}=\pm \ i{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\ =\pm {\frac {i-1}{\sqrt {2}}}.

{\ Displaystyle {\ sqrt {-i}} = \ pm \ i {\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} \ = \ pm {\ frac {i-1} {\ sqrt {2} }}.}

{\ sqrt {-i}} = \ pm \ i {\ frac {1 + i} {{\ sqrt {2}}}} \ = \ pm {\ frac {i-1} {{\ sqrt {2} }}}.

Al igual que con cualquier otro número complejo, las raíces $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Las -ésimas de la unidad imaginaria se calculan fácilmente a través de su descripción en coordenadas polares. En efecto:

i=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}\qquad k=0,1,2,\dots

{\ Displaystyle i = e ^ {{\ frac {\ pi} {2}} i} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i} \ qquad k = 0 , 1,2, \ dots}

i = e ^ {{{\ frac {\ pi} {2}} i}} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i}} \ qquad k = 0,1,2, \ puntos

Al imponer que un número complejo genérico $z=\rho e^{\theta i}$ ${\ Displaystyle z = \ rho e ^ {\ theta i}}$ $z = \ rho e ^ {{\ theta i}}$ ser root $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -ésimo de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ debes tener:

(\rho e^{\theta i})^{n}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i},

{\ Displaystyle (\ rho e ^ {\ theta i}) ^ {n} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i},}

(\ rho e ^ {{\ theta i}}) ^ {n} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2}} + 2 \ pi k) i}},

\rho e^{\theta i}=e^{({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}})i},

{\ Displaystyle \ rho e ^ {\ theta i} = e ^ {({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}) i},}

\ rho e ^ {{\ theta i}} = e ^ {{({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}) i}},

a partir del cual:

\rho =1

{\ Displaystyle \ rho = 1}

\ rho = 1

\theta ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}.

{\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}.}

\ theta = {\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}}.

La disposición de las raíces en el plano complejo es la de los polígonos regulares inscritos en el círculo complejo de radio. $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ : teniendo en cuenta la no unicidad de la representación polar de números complejos, para la raíz cuadrada tendremos dos raíces distintas (configuración por ejemplo $k=0,1$ ${\ Displaystyle k = 0,1}$ $k = 0,1$ ), para la raíz cúbica tendremos tres ( $k=0,1,2$ ${\ Displaystyle k = 0,1,2}$ $k = 0,1,2$ ) etcétera. Volviendo a la representación en el plano complejo mediante la fórmula de Euler obtenemos:

{\sqrt[{n}]{i}}=\cos {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}\qquad k=0,1,2,\dots ,n-1.

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {i}} = \ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) } + i \ sin {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} \ qquad k = 0,1,2, \ dots , n-1.}

{\ sqrt [{n}] {i}} = \ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} + i \ sin {\ left ({\ frac {\ pi} {2n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right)} \ qquad k = 0,1,2, \ dots, n- 1.

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ y la fórmula de Euler

Tomando la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}$ $y ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x$ y sustituyendo ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ en lugar de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , usted obtiene

e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.

{\ Displaystyle e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} = i.}

y ^ {{i {\ frac {\ pi} {2}}}} = i.

Si ambos lados de la igualdad se elevan al poder $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , recordando eso $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ , se obtiene la identidad

i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots

{\ Displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} = 0 {,} 2078795763 \ dots}

{\ Displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} = 0 {,} 2078795763 \ dots}

De hecho, es fácil encontrar que $i^{i}$ ${\ Displaystyle i ^ {i}}$ $yo ^ {i}$ tiene un número infinito de soluciones en forma de

i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi n},

{\ Displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ pi n},}

{\ Displaystyle i ^ {i} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ pi n},}

Dónde está $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ es un todo. Desde el punto de vista de la teoría de números, $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ es un número irracional cuadrático, como ${\sqrt {2}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , y aplicando el teorema de Gelfond-Schneider se puede concluir que todos los valores obtenidos anteriormente, y en particular $e^{-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\ Displaystyle e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}}$ $y ^ {{- {\ frac {\ pi} {2}}}}$ , son trascendentes .

De nuevo a partir de la fórmula de Euler, o cuadrando ambos lados de la identidad anterior $e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i$ ${\ Displaystyle e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} = i}$ $y ^ {{i {\ frac {\ pi} {2}}}} = i$ , llegamos elegantemente a la identidad de Euler :

e^{i\pi }+1=0,

{\ Displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0,}

y ^ {{i \ pi}} + 1 = 0,

que relaciona cinco de las entidades matemáticas más significativas, junto con el principio de igualdad y las operaciones de suma, multiplicación y potencia, en una simple expresión.

Notación alternativa

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se denomina $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ para evitar confusiones con el símbolo de corriente eléctrica variable, tradicionalmente indicado con $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ . El lenguaje de programación Python también usa $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ por la unidad imaginaria.

Es necesario prestar más atención a algunos libros de texto que definen $j=-i$ ${\ Displaystyle j = -i}$ $j = -i$ , particularmente en temas relacionados con la propagación de ondas (por ejemplo, una onda plana que viaja hacia la derecha en la dirección de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ se indica con $e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}$ ${\ Displaystyle e ^ {i (kx- \ omega t)} = e ^ {j (\ omega t-kx)}}$ $e ^ {{i (kx- \ omega t)}} = e ^ {{j (\ omega t-kx)}}$ ).

Algunos textos usan la letra griega iota para la unidad imaginaria para evitar confusiones.

Bibliografía

Giuseppe Zwirner , L. Scaglianti, Itinerarios en matemáticas vol. 1 , Padua, CEDAM, 1989, ISBN 88-13-16794-6
( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , tercero, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Análisis complejo ; Springer-Verlag (2005).

Unidad imaginaria

Índice

Definición

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ Y $-i$ ${\ Displaystyle -i}$ $-los$

Advertencia

Poderes de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$

Raíces de la unidad imaginaria

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ y la fórmula de Euler

Notación alternativa

Bibliografía

Artículos relacionados

Unidad imaginaria

Definición

los {\ Displaystyle i} Y - los {\ Displaystyle -i}

Advertencia

Poderes de los {\ Displaystyle i}

Raíces de la unidad imaginaria

los {\ Displaystyle i} y la fórmula de Euler

Notación alternativa

Bibliografía

Artículos relacionados

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ Y $-i$ ${\ Displaystyle -i}$ $-los$

Poderes de $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$

$los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ y la fórmula de Euler