Velocidad angular

En cinemática , la velocidad angular es una cantidad vectorial definida como la variación de un ángulo en función del tiempo , por lo que entra dentro del concepto general de velocidad , es decir, la variación de una coordenada espacial en el tiempo. En otras palabras, representa la velocidad con la que un ángulo es barrido por el radio vectorial de un punto que se mueve a lo largo de una curva.

Al estar involucrado, junto con la velocidad areolar , en la definición de la velocidad de rotación para describir el movimiento a lo largo de una curva, su uso principal es en el estudio de movimientos periódicos como el movimiento circular y el movimiento armónico . La velocidad angular y la velocidad areolar son siempre vectores paralelos, pero no son necesariamente proporcionales en módulo.

La unidad de medida en el Sistema Internacional es $\mathrm {[rad\cdot s^{-1}]}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {[rad \ cdot s ^ {- 1}]}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {[rad \ cdot s ^ {- 1}]}}$ ( radianes por segundo ), es decir, s ⁻¹ ya que el radianes es un número puro.

Descripción

Dado un objeto en movimiento, cuyo vector de posición se llama radio vectorial $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , la velocidad angular depende del punto de referencia, que es el origen del sistema de coordenadas del rayo vectorial, que es función del tiempo.

Se llama velocidad angular promedio. ${\bar {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ la relación entre el desplazamiento angular , entendido como la variación del ángulo barrido por el rayo vectorial, $\Delta {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}_{2}-{\boldsymbol {\theta }}_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ y el intervalo de tiempo $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ empleado para caminarlo:

{\bar {\boldsymbol {\omega }}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}

{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ Delta t}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ Delta t}}}

Dónde está ${\boldsymbol {\theta }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ Y ${\boldsymbol {\theta }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2}}$ son las posiciones angulares en los instantes iniciales $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ y final $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

Se llama velocidad angular instantánea. ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ el valor es el límite de la velocidad promedio alrededor de un instante dado, o la primera derivada de la posición angular con respecto al tiempo:

{\boldsymbol {\omega }}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {{\boldsymbol {\theta }}(t_{2})-{\boldsymbol {\theta }}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\boldsymbol {\theta }}(t+\Delta t)-{\boldsymbol {\theta }}(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta }} (t_ {2}) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta}} (t + \ Delta t) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol { \ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta }} (t_ {2}) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta}} (t + \ Delta t) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol { \ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

Se elige la dirección del eje de rotación, es decir, la normal al plano de rotación, mientras que la dirección se dirige hacia el observador que ve una rotación en sentido antihorario.

El vector de velocidad angular ( convención de la mano derecha ).

Según esto, la velocidad tangencial $\mathbf {v} _{\theta }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ de un punto que describe una trayectoria circular de radio $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ con velocidad angular ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ Y:

\mathbf {v} _{\theta }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

En realidad, esta fórmula solo es válida para movimientos rígidos esféricos. Esto se puede demostrar teniendo en cuenta que la determinación rigurosa de la velocidad de un punto viene dada por la derivada temporal del vector que identifica sus coordenadas, en un sistema de referencia fijo, de lo contrario hablamos de velocidad relativa.

En el caso de un movimiento circular uniforme , la velocidad angular es: ^[1]

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {2\pi }{T}}{\hat {\mathbf {n} }}=2\pi f{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {2 \ pi} {T }} {\ hat {\ mathbf {n}}} = 2 \ pi f {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {2 \ pi} {T }} {\ hat {\ mathbf {n}}} = 2 \ pi f {\ hat {\ mathbf {n}}}}

habiendo indicado con ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ el vector unitario perpendicular al plano de la órbita. Ya que, con el tiempo $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ , que en movimiento circular uniforme es el período , el ángulo descrito por el rayo es apropiado $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ radianes , que es un ángulo redondo . El tamaño escalar $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es el inverso de $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ y se llama frecuencia . En este contexto, ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ también se llama pulsación .

Enlace con momento angular y momento mecánico

El mismo tema en detalle: Momento angular y Momento mecánico .

En el caso de un cuerpo rígido giratorio, el momento de impulso $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ , es decir, el momento angular es proporcional a la velocidad angular:

\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Bajo las mismas hipótesis, derivando el momento angular obtenemos la segunda ecuación cardinal de la dinámica, que es igual a:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} \iff \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ iff \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ iff \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

Sustituyendo el valor obtenido anteriormente, se obtiene el valor del momento mecánico:

\mathbf {M} ={\cancel {\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ cancelar {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {I}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + \ mathbf {I} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ cancelar {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {I}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + \ mathbf {I} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

Dónde está ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ es la aceleración angular . Por lo tanto, si en el sistema en consideración $\mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ es paralelo a ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , tenemos que el momento mecánico es:

\mathbf {M} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}}

Además, la energía cinética rotacional es:

E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Aplicaciones

En ingeniería eléctrica también se define la pulsación compleja relacionada con un fasor , generalmente representado con un número complejo . De hecho, la tendencia sinusoidal del fasor (imaginado como un vector que gira en sentido antihorario en la circunferencia goniométrica con velocidad angular ω) a lo largo del tiempo puede asociarse con las proyecciones del módulo fasorial en el eje y de la circunferencia goniométrica.

Nota

^ (ES) Libro de oro de la IUPAC, "frecuencia angular, ω"

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Velocidad angular , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] (ES) Libro de oro de la IUPAC, "frecuencia angular, ω"

[1]